Norma

[Aspik]

Witam, czy mógłby mi ktoś sprawdzić poniższe zadanie?

Sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ N: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} }\) jest normą w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{ N \left( x\right)= \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }}}\)

dla \(\displaystyle{ \displaystyle{ x=\left( x _{1},x _{2},..., x _{n} \right)}}\)

Pierwszy warunek:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ N \left( x\right)= \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }} = 0 \Leftrightarrow }\) \(\displaystyle{ \displaystyle x _{1},x _{2},..., x _{n} = 0}\)

Drugi warunek:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ N \left( \alpha x\right)= \left( \alpha x _{1} ^{2}+ 2 \alpha x _{2} ^{2}+ 3 \alpha x _{3} ^{2} +...+ n \alpha x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }} = \alpha { \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+ 3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }} = \alpha N \left( x\right) }\)

Trzeci warunek:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \left( \left( x _{1}+y _{1} \right) ^{2}+ 2\left( x _{2}+y _{2} \right) ^{2}+ ... +n \left( x _{n}+y _{n} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \left(x _{1} ^{2}+ 2x _{1}y _{1}+y _{1} ^{2}+... + nx _{n} ^{2}+ 2nx _{n}y _{n}+y _{n} ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } \le \left(x _{1} ^{2}+... + n x _{n} ^{2}\right) ^{ \frac{1}{2} } + \left(y _{1} ^{2}+... + n y _{n} ^{2}\right) ^{ \frac{1}{2} }}}\)

zatem funkcja jest normą.

[a4karo]

A skąd ta nierówność w trzecim warunku?

[Aspik]

A skąd ta nierówność w trzecim warunku?

Tak mi się wydaje, że powinno być, ale nie jestem pewien. Jeśli nie jest dobrze, to prosiłbym o wskazówkę jak powinno być.

[a4karo]

Może spróbuj tak: Niech \(\displaystyle{ x^*=(x_1,\sqrt2x_2,...,\sqrt{n}x_n)}\) i `||\cdot||` będzie standardowa norma euklidesową.
Wtedy \(\displaystyle{ N(x)=||x^*||}\).