Badanie zbieżności

[Matematyk99xx]

Mam zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ l_{\infty}}\) takiego, że \(\displaystyle{
x_n(k):= \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{kn} , & \textrm{gdy $k\leq n$}\\
0, & \textrm{gdy $k>n $}
\end{array} \right.
}\) dla \(\displaystyle{ k,n \in \mathbb{N}}\). Szczerze mówiąc myli mnie już ta indeksacja i nie do końca wiem jak wyglądają wyrazy tego ciągu. Czy tutaj \(\displaystyle{ x_1 =(1,0,0,0,....), x_2=( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} , 0,0,0,...)}\) czy jednak może \(\displaystyle{ x_1 =(1,0,0,0,....), x_2=( 1, \frac{1}{4} , 0,0,0,...)}\), itd?

[Janusz Tracz]

Mam zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ l_{\infty}}\) ...

To przypuszczenie ale to mi wygląda na coś takiego \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^{\infty} \subset \ell_{\infty}}\) i to zbieżność tego ciągu badamy. Zatem przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ x_n\in\ell_{\infty}}\). Teraz pytanie do czego dąży \(\displaystyle{ x_n}\). No i tu można zgadnąć lub policzyć \(\displaystyle{ \|x_n\|_{\ell_{\infty}}}\) by wyznaczyć kandydata. Więc

\(\displaystyle{ \|x_n\|_{\ell_{\infty}} = \sup_{k\in\NN}\left| x_n(k)\right| = \frac{1}{n} \to 0 }\)

zatem \(\displaystyle{ x_n\to (0,0,0,...)}\) w normie \(\displaystyle{ \ell_{\infty}}\).

[Matematyk99xx]

Czyli rozumiem, że takie patrzenie na poszczególne wyrazy ciągu jest zbędne?

[Janusz Tracz]

Czyli rozumiem, że takie patrzenie na poszczególne wyrazy ciągu jest zbędne?

Patrzenie na poszczególne wyrazy ciągu \(\displaystyle{ x_n(k)}\) jest niezbędne aby stwierdzić, że \(\displaystyle{ \sup_{k\in\NN}\left| x_n(k)\right| = \frac{1}{n}}\). Przecież nie możesz zapomnieć czym są poszczególne elementy \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^ \infty }\).