Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze

Post autor: mmss »

Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie przestrzenią Hilberta i \(\displaystyle{ K \subset H}\) będzie domknięty, niepustym i wypukłym zbiorem.

Czy prawdą jest że jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN} \subset K}\) spełnia warunek Cauchy'ego to ma on granicę ?

Dodano po 2 minutach 37 sekundach:
Czy to jest tak że domknięty podzbiór zupełnej przestrzeni (p. Hilberta) jest zbiorem zupełnym?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze

Post autor: Dasio11 »

Tak.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze

Post autor: mmss »

A mogę zapytać na które pytanie odpowiedziałeś twierdząco? A jeśli na oba to gdzie mógłbym znaleźć jakieś źródło w którym drugie pytanie miało by odpowiedź?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze

Post autor: Dasio11 »

Na oba.

Nie znam źródła, ale dowód jest prosty: jeśli weźmie się dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_n)}\) o elementach w \(\displaystyle{ K}\), to z zupełności przestrzeni jest on zbieżny do pewnego elementu \(\displaystyle{ a \in H}\). Jednak z domkniętości \(\displaystyle{ K}\) wynika że \(\displaystyle{ a \in K}\), czyli w istocie \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do elementu \(\displaystyle{ K}\) - czego należało dowieść.
ODPOWIEDZ