Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie przestrzenią Hilberta i \(\displaystyle{ K \subset H}\) będzie domknięty, niepustym i wypukłym zbiorem.
Czy prawdą jest że jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN} \subset K}\) spełnia warunek Cauchy'ego to ma on granicę ?
Dodano po 2 minutach 37 sekundach:
Czy to jest tak że domknięty podzbiór zupełnej przestrzeni (p. Hilberta) jest zbiorem zupełnym?
Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze
A mogę zapytać na które pytanie odpowiedziałeś twierdząco? A jeśli na oba to gdzie mógłbym znaleźć jakieś źródło w którym drugie pytanie miało by odpowiedź?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10222
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Pytanie o granicę w zupełnym i domkniętym zbiorze
Na oba.
Nie znam źródła, ale dowód jest prosty: jeśli weźmie się dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_n)}\) o elementach w \(\displaystyle{ K}\), to z zupełności przestrzeni jest on zbieżny do pewnego elementu \(\displaystyle{ a \in H}\). Jednak z domkniętości \(\displaystyle{ K}\) wynika że \(\displaystyle{ a \in K}\), czyli w istocie \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do elementu \(\displaystyle{ K}\) - czego należało dowieść.
Nie znam źródła, ale dowód jest prosty: jeśli weźmie się dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_n)}\) o elementach w \(\displaystyle{ K}\), to z zupełności przestrzeni jest on zbieżny do pewnego elementu \(\displaystyle{ a \in H}\). Jednak z domkniętości \(\displaystyle{ K}\) wynika że \(\displaystyle{ a \in K}\), czyli w istocie \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do elementu \(\displaystyle{ K}\) - czego należało dowieść.