Udowodnić, że wzór zadaje dystrybucję

[mmss]

Czy ktoś może zetknął się z podobną tematyką i jest w stanie wytłumaczyć jak się robi takie zadania?

Niech \(\displaystyle{ P\left( \frac{1}{x^{2}}\right) := \lim_{ \epsilon \to 0^+}\left( \int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\phi(x) - \phi(0) }{x^{2}} + \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{\phi(x)-\phi(0)}{x^{2}} \right) }\)

Mam pokazać że \(\displaystyle{ P\left( \frac{1}{x^{2}}\right) }\) jest dystrybucją. Oczywiście dziedziną \(\displaystyle{ P\left( \frac{1}{x^{2}}\right) }\) jest przestrzeń funkcji próbnych które spełniają warunek zbieżności jednostajnej dla funkcji oraz pochodnych wszystkich rzędów tej funkcji.

[Dasio11]

Ze sprawdzeniem którego warunku z definicji dystrybucji jest problem?

[mmss]

Generalnie, to w ogóle koncepcja teorii dystrybucji jest dla mnie bardzo nieintuicyjna.

Mówimy że \(\displaystyle{ T : D(\Omega) \rightarrow \CC}\) jest dystrybucją gdy jest liniowe i ciągłe, gdzie ciągłość oznacza że mamy ciąg \(\displaystyle{ \phi_n \rightarrow \phi}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) (oczywiście \(\displaystyle{ \phi_{n}, \phi \in D(\Omega)}\) i \(\displaystyle{ \Omega \subset \RR^n}\).

Czy liniowość mogę uzasadnić tym ze mamy całkowanie jako definicję naszego wyrażenia i ono jest liniowe?

Z kolei, jak się zabrać za wykazanie ciągłości?

Dodano po 8 minutach 18 sekundach:
Niestety, ani wykład ani ćwiczenia nie dostarczyły żadngo przykładu jak można takie zadanie zrobić dlatego się zwracam o wskazówki.

[Elvis]

Nic nie zastąpi samodzielnego pochylenia się nad problemem. W tym przypadku po dłuższym zastanowieniu należałoby stwierdzić, że samo istnienie granicy nie jest oczywiste, i od tego należałoby zacząć. Na Wikipedii (

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value#Distribution_theory

) jest omówienie bardzo podobnego przykładu, może to pomoże.