Nierówności średnich

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 355
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Nierówności średnich

Post autor: Bran » 7 maja 2021, o 18:14

Korzystając z nierówności Schwarza wykazać, ze średnia harmoniczna dowolnych liczb dodatnich nie przekracza ich średniej arytmetycznej.

Bardzo proszę o kopa na rozruch :lol: , nie mam pomysłu jak zacząć :oops:
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3312
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Janusz Tracz » 7 maja 2021, o 18:26

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left( \sum_{}^{} \sqrt{a} \cdot \frac{1}{ \sqrt{a} } \right)^2 \le \sum_{}^{} a \cdot \sum_{}^{} \frac{1}{a} }\)

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 355
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Bran » 7 maja 2021, o 18:42

A co tutaj sumujemy, ile razy?
Nie dostrzegam związku do średnich. Chociaż sama nierówność wydaje się "oczywista" mimo, że tak jak mówię - nie do końca ją rozumiem.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Premislav » 7 maja 2021, o 19:03

A jeśli zamiast \(\displaystyle{ \sum a}\) widniałoby \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}}\) i analogicznie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\), to byłoby już jasne? Ta nierówność to po prostu zastosowanie nierówności Schwarza.
Innymi słowy, w nierówności
\(\displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\le \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^2\right)}\)
(a to Schwarz właśnie…), kładziemy \(\displaystyle{ x_{i}:=a_{i}, \ y_{i}:=\frac{1}{a_{i}}, \ i=1,2\ldots n}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\) to zmienne „z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną".
Potem wystarczy to podzielić stronami przez \(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\)
i mamy tezę.

Dodano po 48 minutach 54 sekundach:
Jezuniu, miało być \(\displaystyle{ x_{i}:=\sqrt{a_{i}}}\) i dalej \(\displaystyle{ y_{i}:=\frac{1}{\sqrt{a_{i}}}}\), no ale liczę, że to akurat ogarniesz.

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 355
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Bran » 7 maja 2021, o 20:05

Dziękuję, mam tylko jeszcze jeden problem. Nie widzę dlaczego podzielenie prawej strony przez \(\displaystyle{ n \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}
}\)
daje średnią arytmetyczną.

Zrobiłem rachunek dla \(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^2 a_i^2\right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{2}\frac{1}{a_i^2} \right) = \left( a_1^2 + a_2^2\right) \cdot \left( \frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}\right)
= 1 + \frac{a_1^2}{a_2^2} + \frac{a_2^2}{a_1^2} + 1}\)


co należy podzielić przez \(\displaystyle{ n \cdot \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}\right)}\)

dla \(\displaystyle{ a_1 = 1}\) i \(\displaystyle{ a_2 = 2}\) dostaniemy: \(\displaystyle{ \frac{2 + \frac{1}{4} + 4}{2 \cdot 1\frac{1}{2}} = \frac{6\frac{1}{4}}{3} = 2\frac{1}{12}}\)

a średnia arytmetyczna liczb \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), to oczywiście \(\displaystyle{ 1\frac{1}{2}}\)

Więc chyba czegoś nie zrozumiałem.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Premislav » 7 maja 2021, o 20:11

Aha, czyli jednak narobiłem bigosu, no cóż…
Jak wyżej pisałem (ale może nie zauważyłeś, bo to dopisałem po pewnym czasie), powinno być tak:
w nierówności
\(\displaystyle{ \left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\le\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}\)
przyjmujemy
\(\displaystyle{ x_{i}:=\sqrt{a_{i}}, \ y_{i}:=\frac{1}{\sqrt{a_{i}}}, \ i=1,2\ldots n}\),
gdzie \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}}\) to zmienne, których średnia arytmetyczna i harmoniczna nas interesuje.
Z tym się pomyliłem (chyba nie mogłem się należycie skoncentrować w metrze), jak to poprawisz, to podzielenie przez \(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\) da nam to, czego potrzebujemy.

Jestem śmieciem, nawet takie prościutkie rzeczy muszę zepsuć.

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 355
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Bran » 7 maja 2021, o 20:25

Dziękuję, bardzo mi pomogłeś.
Premislav pisze:
7 maja 2021, o 20:11
podzielenie przez \(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\) da nam to, czego potrzebujemy.
Domyślam, że się chodziło o \(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\) ?
Premislav pisze:
7 maja 2021, o 20:11
Jestem śmieciem, nawet takie prościutkie rzeczy muszę zepsuć.
No to pomyśl, że są ludzie (ja), którym trzeba te proste rzeczy jeszcze tłumaczyć ;)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15342
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5104 razy

Re: Nierówności średnich

Post autor: Premislav » 7 maja 2021, o 20:32

Bran pisze:
7 maja 2021, o 20:25
Dziękuję, bardzo mi pomogłeś.
Premislav pisze:
7 maja 2021, o 20:11
podzielenie przez \(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^{n}a_{i}}\) da nam to, czego potrzebujemy.
Domyślam, że się chodziło o \(\displaystyle{ n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\) ?
Tak, dokładnie. Jak widzisz, nie potrafię niczego napisać bezbłędnie, chociaż przed wysłaniem czytałem dwa razy; dobrze, że łapiesz.

ODPOWIEDZ