Mam do udowodnienia pewną własność z twierdzenia:
Monotoniczność względem najgłębszego punktu: dla dowolnego \(\displaystyle{ c\in [0,1]}\) mamy:
\(\displaystyle{ \text{MSBD}(\textbf{x}, P_{\textbf{X}})\leq\text{MSBD}(\textbf{y}+c(\textbf{x}-\textbf{y}),P_{\textbf{X}})}\),
I tutaj trochę dowodu:
Monotoniczność względem najgłębszego punktu:
\(\displaystyle{ \text{MSBD}(\textbf{x}, P_{\textbf{X}})\leq\text{MSBD}(\textbf{y}+c(\textbf{x}-\textbf{y}),P_{\textbf{X}}),}\)
Własność monotoniczności wynika bezpośrednio z
\(\displaystyle{ \text{MSBD}(\textbf{x},P_{\textbf{X}})=\int_{\mathcal{I}}\text{SD}(\textbf{x}(t); P_{\textbf{X}(t)})dt}\)
oraz jest spełniana przez głębie symplicjalną SD określoną w równaniu
\(\displaystyle{ \text{SD}(\textbf{y};P_{\textbf{Y}})=P\{\textbf{y}\in S\{\textbf{Y}_1,...,\textbf{Y}_{p+1}\}\}}\),
gdzie MSBD to jest tak jak w dowodzie zdefiniowane (zmodyfikowana symplicjalna głębia pasma) , a SD to standardowa głębia symplicjalna.
Czy potrafiłby by ktoś to bardziej rozpisać? Te przejścia ? Lub polecić jakaś literaturę , która by pomogła ?