Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

\(\displaystyle{ f:\RR^3 \rightarrow \RR}\)
\(\displaystyle{ f\left( x _{1} ,x _{2} ,x _{3} \right)= \sqrt{\left| x _{1} \right| + \left| x _{2} \right| + \left| x _{3} \right| } }\)
Mam pytanie który ze sposobów wykonania zadania jest poprawny i dlaczego. W przypadku tego warunku \(\displaystyle{ \left| \left| \alpha f\right| \right| = \left| \alpha \right| \cdot \left| \left| f\right| \right| }\)
1.
\(\displaystyle{ \left| \left| \alpha f\right| \right| = \sqrt{\left| \alpha x _{1} \right|+\left| \alpha x _{2} \right|+\left| \alpha x _{3} \right| } }\)
\(\displaystyle{ \left| \alpha \right| \cdot \left| \left| f\right| \right| = \left| \alpha \right| \cdot \sqrt{\left| x _{1} \right|+\left| x _{2} \right|+\left| x _{3} \right| } }\)
2.
\(\displaystyle{ \left| \left| \alpha f\right| \right| = \sqrt{\left| \alpha x _{1} \right|+\left| \alpha x _{2} \right|+\left| \alpha x _{3} \right| } }\)
\(\displaystyle{ \left| \alpha \right| \cdot \left| \left| f\right| \right| = \sqrt{\left| \alpha \right|} \cdot \sqrt{\left| x _{1} \right|+\left| x _{2} \right|+\left| x _{3} \right| }}\)
Ostatnio zmieniony 12 lut 2021, o 13:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: dlaczego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

A czym jest `||. ||`?
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

a4karo pisze: 12 lut 2021, o 20:56 A czym jest `||. ||`?
no to jest norma, funkcja która przypisuje argumentowi liczbę większą lub równą zero. Nie wiem w jaki sposób miało by mnie to naprowadzić na odpowiedź do mojego pytania :(
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

Chciałem się upewnić:
to, co napisałeś nie ma sensu: `f` jest liczbą, ` \alpha` też, wiec `\alpha f` jest liczbą. Zatem zapis `||\alpha f||` nie ma sensu.
Ostatnio zmieniony 13 lut 2021, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

a4karo pisze: 13 lut 2021, o 12:20 Chciałem się upewnić:
to, co napisałeś nie ma sensu`f` jest liczbą,` \alpha` teś, wiec `\alpha f` jest liczbą. Zatem zapis `||\alpha f||` nie ma sensu
W takim razie w jaki sposób zrobiłby Pan takie zadanie? Z tego co wiem najprościej jest sprawdzić 4 warunki dla istnienia normy takiego odwzorowania, jeden z nich próbowałem zapisać ale najwidzoczniej czegoś nie wiem, skoro Pan uważa, że ten zapis nie jest sensowny w tym konkretnym przykładzie.
Albo inaczej :
Czy jest Pan w stanie odpowiedzieć na pytanie gdy we wszystkich miejscach wymienie f na v tzn \(\displaystyle{ \left| \left| \alpha \cdot v\right| \right| = \left| \alpha \right| \cdot \left| \left| v\right| \right| }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

skoro jest pytanie, czy `f` jest normą, to warunki wyglądają inaczej.
Wszędzie tam, gdzie w definicji normy występuje `||.||` (tak oznaczona jest norma) musisz je zastąpić przez `f(.)` (bo Twoja norma tak się oznacza).

Napisz te warunki normy w języku `f` i wtedy spróbuj rozwiązać zadanie.
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

a4karo pisze: 13 lut 2021, o 16:48 skoro jest pytanie, czy `f` jest normą, to warunki wyglądają inaczej.
Wszędzie tam, gdzie w definicji normy występuje `||.||` (tak oznaczona jest norma) musisz je zastąpić przez `f(.)` (bo Twoja norma tak się oznacza).

Napisz te warunki normy w języku `f` i wtedy spróbuj rozwiązać zadanie.
Ma Pan rację, że nie użyłem odpowiednich oznaczeń. Rozumiem, że z Pańskiej wypowiedzi mam wywynioskować iż drugi sposób wykonania jest poprawny, tak?
tzn
\(\displaystyle{ f\left( \left| \alpha \right| x _{1}, \left| \alpha \right| x _{2}, \left| \alpha \right| x _{3} \right)= \sqrt{\left| \alpha \right|\left| x _{1}\right| + \left| \alpha\right| \left| x _{2}\right| + \left| \alpha \right| \left| x _{3} \right| } }\)
\(\displaystyle{ \left| \alpha \right| f\left( x _{1},x _{2},x _{3} \right)= \sqrt{ \left| \alpha \right| } \cdot \sqrt{\left| x _{1}\right| + \left| x _{2}\right| +\left|x _{3} \right| } }\)
Tak to powinno wyglądać ??
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

Nie. Napisz warunki, które trzeba sprawdzić. Dopiero potem weź się za rachunki
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

a4karo pisze: 13 lut 2021, o 18:14 Nie. Napisz warunki, które trzeba sprawdzić. Dopiero potem weź się za rachunki
\(\displaystyle{ 1) f\left( x\right) \ge 0 }\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ 2) f\left( x\right) = 0 \Leftarrow \Rightarrow x = 0 }\)
\(\displaystyle{ 3)f\left( \alpha \cdot x\right) = \left| \alpha \right| \cdot f\left( x\right) }\)
Edit: \(\displaystyle{ 4)f\left( x+y\right) \le f\left( x\right) + f\left( y\right) }\)
Który zapis będzie poprawny przy warunku 3 (o ile dobrze zapisałem warunki):
a)
\(\displaystyle{ \left| \alpha \right| \cdot f(x _{1}, x _{2},x _{3}) = \sqrt{\left| \alpha \right| } \cdot \sqrt{\left| x _{1} \right|+\left| x _{2} \right| + \left| x _{3} \right| } }\)
b)
\(\displaystyle{ \left| \alpha \right| \cdot f(x _{1}, x _{2},x _{3}) = \left| \alpha \right| \cdot \sqrt{\left| x _{1} \right|+\left| x _{2} \right| + \left| x _{3} \right| } }\)
Ostatnio zmieniony 13 lut 2021, o 18:37 przez Danny03, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

b, tyle że on nic nie znaczy

No i 4) do poprawki
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

a4karo pisze: 13 lut 2021, o 18:35 b, tyle że on nic nie znaczy

No i 4) do poprawki
Jak to nic nie znaczy. Dla wartości np \(\displaystyle{ x _{1} = 2,x _{2}=7,x _{3}=3, \alpha = 2 }\)
\(\displaystyle{ f\left( \alpha x _{1} , \alpha x _{2}, \alpha x _{3}\right) \neq \left| \alpha \right|f\left( x _{1} , x _{2}, x _{3}\right) }\)
Natomiast gdybym użył wersji a) wychodzi równość, stąd moje pytanie.

(poprawiłem 4))
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

Samo napisanie jednej strony warunki b) niczego nie dowodzi. Albo podasz kontrprzykład albo rozpiszesz druga stronę i pokażesz, że nie ma równości (na ogół)

Napisanie a), czyli czegoś co jest niepoprawne matematycznie niczego nie dowodzi
Danny03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 19 mar 2020, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: Danny03 »

a4karo pisze: 13 lut 2021, o 18:49 Samo napisanie jednej strony warunki b) niczego nie dowodzi. Albo podasz kontrprzykład albo rozpiszesz druga stronę i pokażesz, że nie ma równości (na ogół)

Napisanie a), czyli czegoś co jest niepoprawne matematycznie niczego nie dowodzi
Nie rozumiem Twojej wypowiedzi. Przecież napisałem dla jakiego warunku nie ma równości.
Dla jasności :
przy \(\displaystyle{ x _{1}=2,x _{2}=7,x _{3}=3, \alpha =2 }\)
\(\displaystyle{ f\left( 2 \cdot 2,2 \cdot 7,2 \cdot 3\right)= \sqrt{\left| 2 \cdot 2\right|+\left| 2 \cdot 7\right| + \left| 2 \cdot 3\right| }= \sqrt{24} }\)
\(\displaystyle{ \left| \alpha \right| \cdot f\left( 2,7,3\right) = \left| 2\right| \cdot \sqrt{\left| 2\right|+\left| 7\right|+\left| 3\right| }=2 \sqrt{12} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{24} \neq 2 \cdot \sqrt{12} }\)
Wniosek - to odwzorowanie nie jest normą.
a jeżeli hipotetycznie wykonałbym a) to ten warunek byłby spełniony, dlatego zadałem to pytanie ...

Dla pewości, czy teraz jest wszystko dobrze ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy to odwzorowanie określa norme? Sprawdź

Post autor: a4karo »

Ok. Zapomnij o a), bo Ci wejdzie w pamięć i będziesz robił błędy.
Ostatnio zmieniony 13 lut 2021, o 20:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ