Nierówności

[Przemkooo]

Mam wykazać nierówności wykorzystując nierówność Schwarza:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq (\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2)}\)

Oto nierówności:
1.Dla każdego \(\displaystyle{ k = {1,...,n}}\), \(\displaystyle{ x_{k} >0}\)
\(\displaystyle{ (\sum_{k=1}^{n}x_{k})(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}}) \geq n^2}\)

2.Dla każdego \(\displaystyle{ k\in{1,...,n}}\), \(\displaystyle{ x_{k} >0}\), \(\displaystyle{ x_{1}\cdot ... x_{n} = a}\), \(\displaystyle{ a\neq 1}\)
\(\displaystyle{ (\sum_{k=1}^{n}log_{a}a_{k})^2 q \frac{1}{n}}\)

Udowodnić to za pomocą przekształceń i iużywając tej nierówności, nie można wykazywać tego indukcją. Proszę o pomoc.

[Sir George]

Ad.1. Podstaw \(\displaystyle{ a_i\,=\,{x_i}^{1/2}\,}\) oraz \(\displaystyle{ b_i\,=\,\frac1{{x_i}^{1/2}}\,}\).

Ad.2. Czy nie powinno być \(\displaystyle{ \ldots \log_a{x_i} \ldots}\) ?

Jeśli tak, to lewa strona równa się \(\displaystyle{ \log_a\big(x_1\cdots x_n\big)\,=\,1}\) ...