Warunek wystarczający na ciągłość funkcji

[mela1015]

Udowodnić, że aby funkcja addytywna \(\displaystyle{ a: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}}\) była ciągła to wystarczy, aby
i) funkcja \(\displaystyle{ a}\) była ograniczona na zbiorze dodatniej miary wewnętrznej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

Wiem jak udowodnić kiedy funkcja \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczona z góry, ale jak udowodnić aby była po prostu ograniczona?

[a4karo]

Jak jest ograniczona to jest ograniczona z góry (i z dołu)

[mela1015]

jak udowodnić ograniczone z dołu?

[a4karo]

A po co?
Masz udowodnic taka implikację : ograniczona - > ciągła

[mela1015]

Skoro ma być funkcja ograniczona to musi być spełniona nierówność \(\displaystyle{ m \le a \le M}\) to jak mam udowodnić te ograniczoność nie mogę skorzystać z tego, że jeśli jest z góry ograniczona to prawą stronę nierówności mam załatwioną? I teraz wystarczy udowodnić lewą stronę nierówności czyli ograniczoność z dołu?

Jest na to inny sposób?

[a4karo]

Przecież masz założenie, że funkcja jest ograniczona. Nie musisz tego dowodzić

[Jan Kraszewski]

Próba dowodzenia założeń to poważne wykroczenie...

JK

[mela1015]

właśnie chodzi o to że mam udowodnić, że jeśli jest ograniczona to jest ciągła

[a4karo]

Rozumiem. Zatem ograniczenie jest założeniem. Nie musisz tego dowodzić.
A schemat masz taki
Ograniczona - > ograniczona z góry - > ciągła

[Jan Kraszewski]

właśnie chodzi o to że mam udowodnić, że jeśli jest ograniczona to jest ciągła

Czy rozumiesz, co oznacza konstrukcja "jeśli...to..."?

JK