Wciągnięcie sumy pod znak iloczynu skalarnego

[student_matematyk]

Witam

Nie wiem czy w dobrym forum postuje jakby co przepraszam.

Nie rozumiem czemu

\(\displaystyle{ \sum _{i,j}\left\langle e_i,e_j\right\rangle x_ix_j\:=\left\langle \sum _i\:x_ie_i\:,\:\sum _j\:x_je_j\right\rangle}\)

Gdzie te iksy są współczynniki z \(\displaystyle{ \RR}\) i gdzie te \(\displaystyle{ e}\) są wektorami bazy dowolnej przestrzeni \(\displaystyle{ n}\) wymiarowej.

Nie widzę czemu miałoby to zachodzić, nie wiem jak wywodzić to rachunkowo po prostu.

[Janusz Tracz]

W przestrzeniach nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) iloczyn skalarny jest dwuliniowy zatem możesz sumy wyciągać przez iloczyn skalarny, podobnie stałe. Postępując kolejno można to zrobić w \(\displaystyle{ 4}\) krokach:

\(\displaystyle{ \left\langle \sum_{i}x_ie_i, \sum_{j}x_je_j\right\rangle = \sum_{i} \left\langle x_ie_i, \sum_{j}x_je_j\right\rangle

=\sum_{i} \sum_{j}\left\langle x_ie_i, x_je_j\right\rangle

= \sum_{i} \sum_{j} \left\langle e_i, x_je_j\right\rangle x_i

= \sum_{i} \sum_{j} \left\langle e_i, e_j\right\rangle x_i x_j
}\)