Operator unitarny, widmo {1}

[marcel0906]

Operator unitarny \(\displaystyle{ U}\) na ośrodkowej przestrzeni Hilberta ma widmo \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\} }\). Czy oznacza to, że \(\displaystyle{ U=id}\) ?

Oczywiście \(\displaystyle{ U=id}\) jest możliwym rozwiązaniem. Zadanie, jak sądzę, sprowadza się do odpowiedzi na pytanie, czy istnieje operator \(\displaystyle{ U \neq id}\), dla którego operator \(\displaystyle{ U-id}\) nie jest bijekcją.

Mam dwa pytania. Czy mój wniosek jest poprawny? Jak to dalej poprowadzić?

[janusz47]

Operator unitarny \(\displaystyle{ U: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H} }\)

( \(\displaystyle{ \mathcal{H} }\) - ośrodkowa przestrzeń Hilberta - ma widmo \(\displaystyle{ \sigma(U) =1 }\) oznacza to, że

\(\displaystyle{ \sigma(U) \subset \{ z \in \CC: |z|< 1\} }\)

Dowód

\(\displaystyle{ U }\) jest operatorem odwracalnym, więc \(\displaystyle{ U^{-1} = U^{*} }\) więc \(\displaystyle{ \parallel U \parallel = \parallel U^{*}\parallel = 1. }\)

Niech \(\displaystyle{ B }\) będzie dowolnym operatorem takim, że \(\displaystyle{ \parallel B \parallel <1 }\) i \(\displaystyle{ (I - B)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}B^{n}.}\)

Stąd, jeśli \(\displaystyle{ |\lambda|<1 }\), to \(\displaystyle{ U - \lambda \cdot Id = (Id - \lambda\cdot U^{-1}). }\)

Jeśli zaś \(\displaystyle{ |\lambda |>1 }\), to \(\displaystyle{ U - \lambda \cdot Id = -\lambda\left( Id - \frac{1}{\lambda}U \right), }\)

oznacza to, że spectrum operatora unitarnego jest otwartym kołem jednostkowym w płaszczyźnie zespolonej.

\(\displaystyle{ \Box }\)

[marcel0906]

Operator unitarny ma widmo w postaci koła jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, to wiem. Może czegoś nie zrozumiałem, ale nie widzę powyższym dowodzie odpowiedzi na pytanie: czy istnieje operator unitarny o widmie {1}, który nie jest identycznością?

[janusz47]

Z twierdzenia o przekształceniu spectrum (widma) wynika, że jeśli odwzorowanie \(\displaystyle{ f: z \rightarrow z^{*} z }\) jest odwzorowaniem bijektywnym, to zachodzi równość

\(\displaystyle{ f[\sigma(U)] = \sigma[(f(U)] = \sigma(Id) = \{1\}.}\)

W odpowiedzi na Pana pytanie - nie istnieje, wynika to z definicji operatora unitarnego i z tego, że wartościami własnymi operatora \(\displaystyle{ U }\) są liczby zespolone o module \(\displaystyle{ |z|=1}\) równym co do wartości spectrum tego operatora.