Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie niezerowym funkcjonałem liniowym i ograniczonym na przestrzeni unormowanej \(\displaystyle{ X}\). Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) zachodzi
\(\displaystyle{ dist(x_0, kerf) = \frac{\left| f(x_ {0} )\right| }{\left| |f|\right| }.}\)
wykazać odległość
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 16 wrz 2014, o 15:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
wykazać odległość
Ostatnio zmieniony 24 paź 2020, o 10:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: wykazać odległość
Jeśli \(\displaystyle{ ( X, \parallel \cdot \parallel ) }\) jest przestrzenią unormowaną i \(\displaystyle{ V \subseteq X }\) jest jej podprzestrzenią, to odległość \(\displaystyle{ x \in X }\) od \(\displaystyle{ V }\) definiujemy jako
\(\displaystyle{ dist(x_{0}, V) = \inf\{ \parallel x - v\parallel \}, \ \ v\in V. }\)
i
\(\displaystyle{ \ker(f) = \{ x\in X: f(x) = 0 \} }\)
Bez straty ogólności zakładamy, że \(\displaystyle{ \parallel f \parallel = 1 }\) i rozpatrujemy
\(\displaystyle{ f_{1} := \frac{1}{\parallel f \parallel} f.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \ker(f) = \ker(f_{1}) }\) i \(\displaystyle{ \parallel f_{1} \parallel = 1. }\)
Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ dist(x , \ker(f)) = |f_{1}(x))| }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in V. }\)
Zakładając, że \(\displaystyle{ \parallel f \parallel =1 }\) mamy \(\displaystyle{ |f(x)|\leq \parallel x \parallel .}\)
Stosując tą nierówność do różnicy wektorów \(\displaystyle{ x - v, }\) mamy
\(\displaystyle{ |f(x)|= |f (x -u) |\leq \parallel x - v \parallel, }\)
skąd
\(\displaystyle{ |f(x)| \leq dist (x, \ker(f)). }\)
Z drugiej strony zgodnie zgodnie z definicją normy istnieją, wektory jednostkowe \(\displaystyle{ u_{1}, u_{2},...,u_{n},...,}\) takie, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} f(u_{n}) = 1 }\)
Kładąc
\(\displaystyle{ c_{n} := x - \frac{f(x)}{f(u_{n})} \cdot u_{n} \in \ker(f) }\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ dist( x, \ker(f)) \leq \parallel x - c_{n}\parallel = \frac{|f(x)|}{|f(c_{n})|}}\)
\(\displaystyle{ dist( x, \ker(f)) = \frac{|f(x)|}{\parallel f\parallel}, }\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty.}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
Literatura
ADRIAN CONSTANTIN. Fourier Analysis. Part 1. Theory. London Mathematician Society Cambrdge 2016.
\(\displaystyle{ dist(x_{0}, V) = \inf\{ \parallel x - v\parallel \}, \ \ v\in V. }\)
i
\(\displaystyle{ \ker(f) = \{ x\in X: f(x) = 0 \} }\)
Bez straty ogólności zakładamy, że \(\displaystyle{ \parallel f \parallel = 1 }\) i rozpatrujemy
\(\displaystyle{ f_{1} := \frac{1}{\parallel f \parallel} f.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \ker(f) = \ker(f_{1}) }\) i \(\displaystyle{ \parallel f_{1} \parallel = 1. }\)
Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ dist(x , \ker(f)) = |f_{1}(x))| }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in V. }\)
Zakładając, że \(\displaystyle{ \parallel f \parallel =1 }\) mamy \(\displaystyle{ |f(x)|\leq \parallel x \parallel .}\)
Stosując tą nierówność do różnicy wektorów \(\displaystyle{ x - v, }\) mamy
\(\displaystyle{ |f(x)|= |f (x -u) |\leq \parallel x - v \parallel, }\)
skąd
\(\displaystyle{ |f(x)| \leq dist (x, \ker(f)). }\)
Z drugiej strony zgodnie zgodnie z definicją normy istnieją, wektory jednostkowe \(\displaystyle{ u_{1}, u_{2},...,u_{n},...,}\) takie, że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} f(u_{n}) = 1 }\)
Kładąc
\(\displaystyle{ c_{n} := x - \frac{f(x)}{f(u_{n})} \cdot u_{n} \in \ker(f) }\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ dist( x, \ker(f)) \leq \parallel x - c_{n}\parallel = \frac{|f(x)|}{|f(c_{n})|}}\)
\(\displaystyle{ dist( x, \ker(f)) = \frac{|f(x)|}{\parallel f\parallel}, }\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty.}\)
\(\displaystyle{ \Box }\)
Literatura
ADRIAN CONSTANTIN. Fourier Analysis. Part 1. Theory. London Mathematician Society Cambrdge 2016.