Transformata Fouriera i transformata odwrotna

[Nietoperz]

Hej mam problem ze zrozumieniem transformaty Fouriera. Mianowicie wiem że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}}\) możemy zdefiniować jej transformatę Fouriera jako \(\displaystyle{ F(x)=\int_\mathbb{R}f(u)e^{iux}du}\). Ale jakie założenia musi spełniać funkcja \(\displaystyle{ f}\) żeby móc ją odzyskać z transformaty? I dlaczego funkcja gęstości prawdopodobieństwa zawsze je spełnia? Może ktoś podać pełną wypowiedź tego twierdzenia?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}[ f] = F(x) = \int_{\RR} f(x) e^{iux}du}\)

Przekształcenie Fouriera proste i odwrotne określone jest na przestrzeni \(\displaystyle{ S(R) }\) - funkcji szybko malejących.

Funkcje charakterystyczne są odwrotnymi transformatami Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

\(\displaystyle{ \phi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{i\omega x} dx. }\)

[buncolgit]

Tzn chce sformulowac twierdzenie ktore mowi ze jesli mamy funkcje (najlepiej od razu gestosc prawodopobienstwa) \(\displaystyle{ f}\) oraz jej transformate Fouriera (funkcje charakterystyczna) \(\displaystyle{ \phi(u)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{iux}dx}\) to możemy odzyskać funkcje \(\displaystyle{ f}\) w nastepujacy sposob:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-iux}\phi(u)du}\)
Nie wiem jednak dlaczego dla gestosci faktycznie mozemy tak zrobic, i w ogolnosci co trzeba zalozyc o \(\displaystyle{ f}\). Wystarczy zalozyc ze funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest szybko malejaca tzn. dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ N}\) istnieje stala \(\displaystyle{ C_N}\) taka ze \(\displaystyle{ |f(x)|\le C_n (1+|x|)^{-N}}\)? Jak pokazać że kazda funkcja gestosci jest szybko malejaca?

[janusz47]

W definicji funkcji charakterystycznej występuje funkcja gęstości \(\displaystyle{ f(x), (p(x)) }\) prawdopodobieństwa.

Na przykład funkcja

\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2,&\text{gdy} \ \ x\in [0, 2] \\ 0&\mbox{gdy} \ \ x\notin [0, 2] \end{cases} }\)

jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa, a nie jest funkcją szybko malejącą.

[buncolgit]

W takim razie możesz podać pełną wypowiedź twierdzenia o odwracaniu transformaty Fouriera? Bo póki w książkach tylko widzę że autorzy biorą sobie dowolna funkcje \(\displaystyle{ f}\), licza jej transformate Fouriera i z tej transformaty odzyskuja wyjsciowa funkcje. Ale nigdzie nie widze jasnych zalozen co wyjsciowa funkcja \(\displaystyle{ f}\) musi spelniac zeby bylo to mozliwe

[a4karo]

W definicji funkcji charakterystycznej występuje funkcja gęstości \(\displaystyle{ f(x), (p(x)) }\) prawdopodobieństwa.

Na przykład funkcja

\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2,&\text{gdy} \ \ x\in [0, 2] \\ 0&\mbox{gdy} \ \ x\notin [0, 2] \end{cases} }\)

jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa, a nie jest funkcją szybko malejącą.

Bo????

[janusz47]

By móc dowolną ilość razy różniczkować i dokonywać prostej i odwrotnej transformacji Fouriera ("transfourierować" - słowo używane przez Laurenta Schwartza), trzeba mieć przestrzeń funkcyjną funkcji dowolnie różniczkowalnych, które po pomnożeniu przez wielomian dowolnego stopnia byłyby całkowalne.

Taką przestrzenią wprowadzona przez Schwartza jest przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{S}. }\)

Funkcja \(\displaystyle{ f }\)należy do przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{S}, }\) gdy jest nieskończenie różniczkowalna \(\displaystyle{ (f\in C^{\infty}(\RR)) }\) i jej wszystkie pochodne szybko maleją.

Co to znaczy szybko maleją? To znaczy " gdy \(\displaystyle{ |x| \rightarrow \infty }\) - szybciej niż każda potęga funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{|x|} }\) wraz ze swoimi wszystkimi pochodnymi".

Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{S} }\) można też określić jako zbiór wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f\in C^{\infty}(\RR),}\) takich, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ \alpha, \beta }\) zachodzi

\(\displaystyle{ \parallel f\parallel _{\alpha, \beta} = \ \ \sup_{x \in \RR} |x^{\beta}f^{(\alpha)}| < \infty. }\)

W myśl tej definicji - kryterium, czy funkcja gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f(x)\in \mathcal{S}? }\)
Jednak należy.

[Slup]

Ukryta treść:    

Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{S}(\mathbb{R})}\) zawiera się w przestrzeni funkcji gładkich \(\displaystyle{ C^{\infty}(\mathbb{R})}\). Nie każda gęstość jest funkcją gładką. Przykładem jest gęstość \(\displaystyle{ \rho}\) rozkładu jednostajnego na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\), bo
$$\rho(x) = \begin{cases} 1&\mbox{ dla }x\in [0,1]\\
0&\mbox{ dla pozostałych }x
\end{cases}
$$
nie jest funkcją ciągłą (więc tym bardziej gładką). Zatem \(\displaystyle{ \rho \not \in \mathcal{S}(\mathbb{R})}\). Podobnie funkcja zapisana wyżej przez użytkownika Janusz47 nie jest elementem \(\displaystyle{ \mathcal{S}(\mathbb{R})}\). Fakt, że transformata Fouriera \(\displaystyle{ \mathcal{F}:\mathcal{S}(\mathbb{R})\rightarrow \mathcal{S}(\mathbb{R})}\) jest izomorfizmem, nie jest więc wystarczający, o ile kogoś interesują gęstości prawdopodobieństwa. Są dwie możliwości.
1. Przejście do przestrzeni dystrybucji temperowanych, która jest dualna do \(\displaystyle{ \mathcal{S}(\mathbb{R})}\), co wymaga redefinicji transformaty Fouriera. Wtedy wzór na odwrócenie działa dla wszystkich miar skończonych na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), w szczególności dla wszystkich miar absolutnie ciągłych względem miary Lebesgue'a.
2. Pozostajemy w świecie funkcji.

Przede wszystkim transformatę Fouriera definiuje się zazwyczaj dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}}\) będzie w \(\displaystyle{ L^1(\mathbb{R})}\) wówczas jej transformata Fouriera \(\displaystyle{ \hat{f}}\) jest dana wzorem
$$\mathbb{R}\ni \omega \mapsto \int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi\omega x i}dx\in \mathbb{C}$$
gdzie całka po prawej stronie jest całką w sensie Lebesgue'a. To jest istotne, bo można użyć innego pojęcia transformaty Fouriera, ale o tym niżej. Wzór na odwrócenie mówi, że
$$f(x) = \widehat{\hat{f}}(-x)$$
Oczywiście nie zachodzi on w pełnej ogólności. Natomiast w pewnym sensie zachodzi tam, gdzie to jest tylko możliwe, o czym mówi poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 1. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}}\) będzie funkcją całkowalną w sensie Lebesgue'a tzn. \(\displaystyle{ f\in L^1(\mathbb{R})}\). Wówczas transformata
$$\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega) = \int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi\omega x i}dx$$
należy do przestrzeni \(\displaystyle{ L^{\infty}(\mathbb{R})}\). Jeśli dodatkowo wiemy, że \(\displaystyle{ \hat{f}\in L^1(\mathbb{R})}\), to
$$f(x) = \int_{\mathbb{R}}\hat{f}(\omega)e^{2\pi \omega x i}d\omega$$
dla prawie każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) (czyli poza zbiorem miary Lebesgue'a zero). Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to równość zachodzi wszędzie.

Mamy też następujący.

Fakt. Jeśli \(\displaystyle{ f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})}\), to \(\displaystyle{ f,\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})}\).

Jest też inna wersja twierdzenia na odwrócenie.

Twierdzenie 2. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}}\) będzie kawałkami gładka oraz \(\displaystyle{ f\in L^1(\mathbb{R})}\). Wówczas
$$f(x) = \lim_{R \rightarrow +\infty}\int_{-R}^Re^{2
\pi x \omega i}\hat{f}(\omega)d\omega$$
o ile \(\displaystyle{ x}\) jest punktem ciągłości \(\displaystyle{ f}\).

Prawa strona wzoru w Twierdzeniu 2 nie jest zwykłą transformatą odwrotną w sensie definicji, którą zapisałem na początku tego wpisu. To warto odnotować.

Można też użyć twierdzenia Plancherela, ale to wymaga zdefiniowania transformaty Fouriera tak, żeby jej dziedzina zawierała funkcje całkowalne z kwadratem. Wtedy ta "nowa" transformata Fouriera staje się izometrią liniową \(\displaystyle{ L^2(\mathbb{R}) \rightarrow L^2(\mathbb{R})}\).