Mam problem z udowodnieniem jednej z własności funkcjonału Minkowskiego, a mianowicie:
jeśli dodatkowo podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbalansowany, to \(\displaystyle{ p_A(\lambda x)=\left| \lambda \right| p_A (x), \text{ } x\in X, \text{ } \lambda \in K}\).
Dla przypomnienia:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie wypukłym i pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\).
Poprawnie określony funkcjonał \(\displaystyle{ p_A:=\text{inf}\{\lambda > 0: \text{ }x\in \lambda A\}, \text{ } x\in X}\) nazywamy funkcjonałem Minkowskiego.
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) nazywamy wypukłym, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in A\text{ oraz }\lambda, \mu \ge 0}\) takich, że \(\displaystyle{ \lambda + \mu = 1}\)
zachodzi \(\displaystyle{ \lambda x + \mu y \in A}\).
Podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) nazywamy pochłaniającym, jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\) istnieje \(\displaystyle{ \lambda > 0}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in \lambda A}\).
Podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) nazywamy zbalansowanym, jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ \lambda \in K}\) takiego, że \(\displaystyle{ \left| \lambda \right| \le 1 }\) jest \(\displaystyle{ \lambda A \subset A}\).
Funkcjonał Minkowskiego
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Funkcjonał Minkowskiego
Rozumiem, że \(\displaystyle{ K}\) jest jakimś podciałem \(\displaystyle{ \RR}\)?
Jeśli tak: dla \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) równość natychmiast wynika z tego, że \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem \(\displaystyle{ A}\), co z kolei wynika z faktu, że jest to zbiór pochłaniający. Gdy \(\displaystyle{ \lambda > 0}\), to
\(\displaystyle{ p_A(\lambda x) = \inf \{ \mu > 0 : \lambda x \in \mu A \} = \inf \left\{ \mu > 0 : x \in \frac{\mu}{\lambda} A \right\}}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ \alpha := \frac{\mu}{\lambda}}\), mamy dalej
\(\displaystyle{ \ldots = \inf \{ \lambda \alpha > 0 : x \in \alpha A \} = \lambda \cdot \inf \{ \alpha > 0 : x \in \alpha A \} = \lambda p_A(x)}\).
Aby wykazać tezę dla ostatniego przypadku \(\displaystyle{ \lambda < 0}\), wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ p_A(-x) = p_A(x)}\). Jednak ze zbalansowania \(\displaystyle{ A}\) łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ -A = A}\), zatem \(\displaystyle{ x \in \lambda A \iff -x \in \lambda A}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \lambda > 0}\). I to właściwie kończy dowód.
Jeśli tak: dla \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) równość natychmiast wynika z tego, że \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem \(\displaystyle{ A}\), co z kolei wynika z faktu, że jest to zbiór pochłaniający. Gdy \(\displaystyle{ \lambda > 0}\), to
\(\displaystyle{ p_A(\lambda x) = \inf \{ \mu > 0 : \lambda x \in \mu A \} = \inf \left\{ \mu > 0 : x \in \frac{\mu}{\lambda} A \right\}}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ \alpha := \frac{\mu}{\lambda}}\), mamy dalej
\(\displaystyle{ \ldots = \inf \{ \lambda \alpha > 0 : x \in \alpha A \} = \lambda \cdot \inf \{ \alpha > 0 : x \in \alpha A \} = \lambda p_A(x)}\).
Aby wykazać tezę dla ostatniego przypadku \(\displaystyle{ \lambda < 0}\), wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ p_A(-x) = p_A(x)}\). Jednak ze zbalansowania \(\displaystyle{ A}\) łatwo wywnioskować, że \(\displaystyle{ -A = A}\), zatem \(\displaystyle{ x \in \lambda A \iff -x \in \lambda A}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \lambda > 0}\). I to właściwie kończy dowód.