pochodna delty Diraca

[shreder221]

Dzień dobry w zadaniu pojawiło mi się równanie z deltą diraca i pochodną delty diraca. W związku z tym mam 2 pytania.
Ile wynosi \(\displaystyle{ \delta'(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) ??
Ile wynosi \(\displaystyle{ \delta'(0)}\) ?

Nwm czy to ma znaczenie ale chodzi o deltę w teorii dystrybucji.

[janusz47]

Traktując \(\displaystyle{ \delta - }\) Diraca jako funkcjonał

\(\displaystyle{ T(f)= \delta(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f(x) dx,}\)

po całkowaniu metodą przez części otrzymujemy

\(\displaystyle{ T'(f) = \delta'(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x)f(x) dx = - \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) f'(x)dx = -f'(0) .}\)

Traktując funkcję \(\displaystyle{ \delta - }\) Diraca jako \(\displaystyle{ \delta-}\) dystrybucję ( dystrybucję Diraca), otrzymujemy

\(\displaystyle{ \delta(x) = \left \langle \frac{1}{\pi}\cdot \frac{n}{n^2 x^2 +1} \right \rangle \ \ (1) }\)

Wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (1) }\) są różniczkowalne w sposób ciągły dowolną liczbę razy, możemy więc otrzymać pierwszą pochodną

\(\displaystyle{ \delta'(x) = \left \langle -\frac{1}{\pi}\cdot \frac{2n^2 x}{(n^2 x^2 +1)^2} \right \rangle. }\)

[Elvis]

W samym pytaniu jest już problem. Delta Diraca nie jest funkcją, nie ma więc sensu pytać o jej wartości w poszczególnych punktach \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\). A tym bardziej w jednym ustalonym punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\).

A czym jest delta Diraca? Jest miarą, konkretnie miarą przypisującą \(\displaystyle{ 1}\) zbiorom zawierającym zero i \(\displaystyle{ 0}\) pozostałym zbiorom. W szczególności - jak każda miara - wyznacza dystrybucję daną wzorem \(\displaystyle{ \delta(f) = \int f d \delta}\). W tym przypadku \(\displaystyle{ \delta(f) = f(0)}\) i - zgodnie z definicją pochodnej dystrybucyjnej - \(\displaystyle{ \delta'(f) = -f'(0)}\), tak jak napisał janusz47.