Dzień dobry w zadaniu pojawiło mi się równanie z deltą diraca i pochodną delty diraca. W związku z tym mam 2 pytania.
Ile wynosi \(\displaystyle{ \delta'(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) ??
Ile wynosi \(\displaystyle{ \delta'(0)}\) ?
Nwm czy to ma znaczenie ale chodzi o deltę w teorii dystrybucji.
pochodna delty Diraca
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 5 cze 2015, o 21:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: pochodna delty Diraca
Traktując \(\displaystyle{ \delta - }\) Diraca jako funkcjonał
\(\displaystyle{ T(f)= \delta(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f(x) dx,}\)
po całkowaniu metodą przez części otrzymujemy
\(\displaystyle{ T'(f) = \delta'(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x)f(x) dx = - \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) f'(x)dx = -f'(0) .}\)
Traktując funkcję \(\displaystyle{ \delta - }\) Diraca jako \(\displaystyle{ \delta-}\) dystrybucję ( dystrybucję Diraca), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \delta(x) = \left \langle \frac{1}{\pi}\cdot \frac{n}{n^2 x^2 +1} \right \rangle \ \ (1) }\)
Wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (1) }\) są różniczkowalne w sposób ciągły dowolną liczbę razy, możemy więc otrzymać pierwszą pochodną
\(\displaystyle{ \delta'(x) = \left \langle -\frac{1}{\pi}\cdot \frac{2n^2 x}{(n^2 x^2 +1)^2} \right \rangle. }\)
\(\displaystyle{ T(f)= \delta(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f(x) dx,}\)
po całkowaniu metodą przez części otrzymujemy
\(\displaystyle{ T'(f) = \delta'(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x)f(x) dx = - \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) f'(x)dx = -f'(0) .}\)
Traktując funkcję \(\displaystyle{ \delta - }\) Diraca jako \(\displaystyle{ \delta-}\) dystrybucję ( dystrybucję Diraca), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \delta(x) = \left \langle \frac{1}{\pi}\cdot \frac{n}{n^2 x^2 +1} \right \rangle \ \ (1) }\)
Wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (1) }\) są różniczkowalne w sposób ciągły dowolną liczbę razy, możemy więc otrzymać pierwszą pochodną
\(\displaystyle{ \delta'(x) = \left \langle -\frac{1}{\pi}\cdot \frac{2n^2 x}{(n^2 x^2 +1)^2} \right \rangle. }\)
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Re: pochodna delty Diraca
W samym pytaniu jest już problem. Delta Diraca nie jest funkcją, nie ma więc sensu pytać o jej wartości w poszczególnych punktach \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\). A tym bardziej w jednym ustalonym punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\).
A czym jest delta Diraca? Jest miarą, konkretnie miarą przypisującą \(\displaystyle{ 1}\) zbiorom zawierającym zero i \(\displaystyle{ 0}\) pozostałym zbiorom. W szczególności - jak każda miara - wyznacza dystrybucję daną wzorem \(\displaystyle{ \delta(f) = \int f d \delta}\). W tym przypadku \(\displaystyle{ \delta(f) = f(0)}\) i - zgodnie z definicją pochodnej dystrybucyjnej - \(\displaystyle{ \delta'(f) = -f'(0)}\), tak jak napisał janusz47.
A czym jest delta Diraca? Jest miarą, konkretnie miarą przypisującą \(\displaystyle{ 1}\) zbiorom zawierającym zero i \(\displaystyle{ 0}\) pozostałym zbiorom. W szczególności - jak każda miara - wyznacza dystrybucję daną wzorem \(\displaystyle{ \delta(f) = \int f d \delta}\). W tym przypadku \(\displaystyle{ \delta(f) = f(0)}\) i - zgodnie z definicją pochodnej dystrybucyjnej - \(\displaystyle{ \delta'(f) = -f'(0)}\), tak jak napisał janusz47.