Załóżmy, że \(\displaystyle{ Y }\) jest podprzestrzenią przestrzeni unormowanej \(\displaystyle{ X}\). Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) zbiór \(\displaystyle{ Y_{x}}\), złożony ze wszystkich
elementów najlepszej aproksymacji dla \(\displaystyle{ x}\) w zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) , jest zbiorem ograniczonym i wypukłym.
Udowodnić twierdzenie najlepsza aproksymacja
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Udowodnić twierdzenie najlepsza aproksymacja
Ograniczoność zbioru elementów najlepszej aproksymacji \(\displaystyle{ Y_{x} }\) wynika z relacji
\(\displaystyle{ Y_{x} \subset \{y\in Y :\parallel x - y \parallel \leq \parallel x \parallel \}.}\)
Bardziej ogólnie zbiór \(\displaystyle{ Y_{x} }\) należy do sfery
\(\displaystyle{ \{ y\in Y: \parallel x - y \parallel = d \},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ d = dist(x,Y) = \inf_{y\in Y}\parallel x - y \parallel. }\)
Wykażemy wypukłość zbioru \(\displaystyle{ Y_{x}, }\) to jest prawdziwość implikacji:
\(\displaystyle{ [ (y_{1}, \ \ y_{2}\in Y_{x} \wedge 0 \leq \lambda \leq 1 ) \rightarrow (y^{*} = \lambda y_{1}+ (1-\lambda) y_{2}\in Y_{x} ) ]. }\)
Z tego, że \(\displaystyle{ y_{1}, \ \ y_{2} \in Y_{x} }\) wynika, że
\(\displaystyle{ \parallel x - y_{1} \parallel = \parallel x - y_{2} \parallel = \min_{y \in Y} \parallel x - y \parallel. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \parallel x - y^{*} \parallel = \parallel x - (\lambda y_{1}+ (1 -\lambda)y_{2}) \parallel = \parallel \lambda(x -y_{1}) + (1- \lambda)Y_{2}\parallel \leq \lambda \parallel x - y_{1} \parallel + (1-\lambda)\parallel x- y_{2} \parallel = \min_{y\in Y} \parallel x - y \parallel }\)
W konsekwencji
\(\displaystyle{ \parallel x - y^{*} \parallel = \min_{y\in Y} \parallel x - y \parallel , }\)
czyli
\(\displaystyle{ y^{*} \in Y_{x}. }\)
c.b.d.o.
\(\displaystyle{ Y_{x} \subset \{y\in Y :\parallel x - y \parallel \leq \parallel x \parallel \}.}\)
Bardziej ogólnie zbiór \(\displaystyle{ Y_{x} }\) należy do sfery
\(\displaystyle{ \{ y\in Y: \parallel x - y \parallel = d \},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ d = dist(x,Y) = \inf_{y\in Y}\parallel x - y \parallel. }\)
Wykażemy wypukłość zbioru \(\displaystyle{ Y_{x}, }\) to jest prawdziwość implikacji:
\(\displaystyle{ [ (y_{1}, \ \ y_{2}\in Y_{x} \wedge 0 \leq \lambda \leq 1 ) \rightarrow (y^{*} = \lambda y_{1}+ (1-\lambda) y_{2}\in Y_{x} ) ]. }\)
Z tego, że \(\displaystyle{ y_{1}, \ \ y_{2} \in Y_{x} }\) wynika, że
\(\displaystyle{ \parallel x - y_{1} \parallel = \parallel x - y_{2} \parallel = \min_{y \in Y} \parallel x - y \parallel. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \parallel x - y^{*} \parallel = \parallel x - (\lambda y_{1}+ (1 -\lambda)y_{2}) \parallel = \parallel \lambda(x -y_{1}) + (1- \lambda)Y_{2}\parallel \leq \lambda \parallel x - y_{1} \parallel + (1-\lambda)\parallel x- y_{2} \parallel = \min_{y\in Y} \parallel x - y \parallel }\)
W konsekwencji
\(\displaystyle{ \parallel x - y^{*} \parallel = \min_{y\in Y} \parallel x - y \parallel , }\)
czyli
\(\displaystyle{ y^{*} \in Y_{x}. }\)
c.b.d.o.