Mam zadanie które brzmi:
Zapisać za pomocą dystrybucji \(\displaystyle{ \delta(x)}\)pochodnych \(\displaystyle{ \delta(x)}\) i \(\displaystyle{ \theta(x) }\)podane funkcjonały liniowe i znaleźć ich transformaty Fouriera.
a) \(\displaystyle{ T: f(x) \rightarrow \sum_{n \rightarrow -N}^{N}f(n)}\)
i o ile na zajęciach wszystko rozumiałem to w czasie pracy samodzielnej w domu dopadły mnie pewne wątpliwości. Z pewnych względów wolę nie wysyłać zapytania do prowadzącego więc pytam się was.
Moje rozumowanie
wiemy że:
\(\displaystyle{ f(n)=\int _{-\infty}^{\infty} \delta(x-n)f(x)}\)
więc \(\displaystyle{ \sum_{n \rightarrow -N}^{N}f(n)=\sum_{n \rightarrow -N}^{N} \int _{-\infty}^{\infty} \delta_n f(x)}\)
Więc funkcjonał liniowy zapisany za pomocą delty Diraca to
\(\displaystyle{ T: f(x)\rightarrow \sum_{n \rightarrow -N}^{N} \int _{-\infty}^{\infty} \delta_n f(x)}\)
rozumowanie prowadzącego
\(\displaystyle{ T: f(x)\rightarrow \sum_{n \rightarrow -N}^{N}f(n)}\)
\(\displaystyle{ T: f(x)\rightarrow(T(x)|f)=\int _{-\infty}^{\infty} T(x)f(x)}\)
Zauważamy że
\(\displaystyle{ f(n)=\int _{-\infty}^{\infty} \delta(x-n)f(x)}\)
więc \(\displaystyle{ T=|}\)Pisał zamiennie z \(\displaystyle{ T(x)|= \sum_{n \rightarrow -N}^{N}\delta n}\)
1) I o ile z porównania rzeczywiście \(\displaystyle{ T(x)= \sum_{n \rightarrow -N}^{N}\delta n}\) To czy funkcjonał T=T(x)? Jeśli tak to gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?
Możliwe że wątpliwości wynikają z niezrozumienia oznaczeń
2)
a)Czym jest T w \(\displaystyle{ T: f(x)\rightarrow \sum_{n \rightarrow -N}^{N}f(n)}\)
b)Czym jest T(x)\(\displaystyle{ T: f(x)\rightarrow(T(x)|f)=\int _{-\infty}^{\infty} T(x)f(x)}\)
c)Czym jest sam zapis \(\displaystyle{ (T(x)|f)}\)
d)Czym jest zapis \(\displaystyle{ <T(x)|f>}\) został użyty podobnie do \(\displaystyle{ (T(x)|f)}\) więc może oznacza to samo? lub profesor się pomylił?
3)
Inną kwestią jest sens odpowiedzi \(\displaystyle{ T= \sum_{n \rightarrow -N}^{N}\delta n}\)
bo to by chyba znaczyłoby że \(\displaystyle{ T: f(x)\rightarrow \sum_{n \rightarrow -N}^{N}\delta(x-n)}\)
a) Gdzie mielibyśmy wsadzać poszczególne \(\displaystyle{ f(x)}\)
b) Czy\(\displaystyle{ \delta(x-n)}\) ma tu sens skoro nie podstawiamy x? Wydaje mi się że sens miałoby albo \(\displaystyle{ \delta(n)}\) albo forma z całką
jak w moim rozwiązaniu
Podsumowując gdzie i dlaczego tak bardzo się mylę
Pozdrawiam shreder221