"Hilbertowskość" i baza pewnej przestrzeni

[pitgot]

Zastanawiam się nad pytaniem o to, czy dowolna p. liniowa ma szansę być p. Hilberta. Próbując na nie odpowiedzieć obstawiam, że nie. Moje wytłumaczenie: Pytanie to może zostać zastąpione równoważnym pytaniem o "hilbertowskość" dowolnej przestrzeni unitarnej, ponieważ w każdej przestrzeni wektorowej da się wprowadzić iloczyn skalarny, ale już nie w każdym przypadku jest on zadany przez normę, np. w metryce maksimowej czy miejskiej na płaszczyźnie. Chciałbym się upewnić co do tego, czy moje rozumowanie i podane kontrprzykłady są poprawne.
Pozostając w tej przestrzeni - domyślam się też, że maksymalnej mocy układem ortogonalnym będzie dla niej jej baza Hamela, bo każda takową posiada, ale akurat w tym przypadku mam problem z tym, w jaki sposób można by to możliwie najprościej wykazać...

[matmatmm]

w każdej przestrzeni wektorowej da się wprowadzić iloczyn skalarny, ale już nie w każdym przypadku jest on zadany przez normę, np. w metryce maksimowej czy miejskiej na płaszczyźnie.

Coś tu nie gra. Metryki maksimum i miejska są zadane przez normę...

A co do pytania, to odpowiedzi udziela natychmiast

Ukryta treść:    

Fajne twierdzenie, że dowolna nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha ma nieprzeliczalny wymiar (algebraiczny).

Dodano po 7 minutach 42 sekundach:

Pozostając w tej przestrzeni - domyślam się też, że maksymalnej mocy układem ortogonalnym będzie dla niej jej baza Hamela, bo każda takową posiada

Baza Hamela, czy w ogóle jakakolwiek baza nie musi być układem ortogonalnym. Ale maksymalna moc układu ortogonalnego nie przekracza na pewno mocy bazy (wszystkie bazy są równoliczne), bo każdy układ ortogonalny składa się z wektorów liniowo niezależnych.

[Korowiow Fagot]

W zasadzie to nie iloczyn skalarny jest zadawany przez normę, a norma przez iloczyn skalarny \(\displaystyle{ (||x||= \sqrt{\left\langle x,x\right\rangle } )}\). Ale być może o to Panu chodziło.
Problemem natomiast jest, czy norma ta jest zupełna. Przykładowo w przestrzeni \(\displaystyle{ C([a,b])}\) można wprowadzić iloczyn skalarny postaci \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle = \int_{a}^{b}x(t)y(t)dt}\), ale norma pochodząca od niego nie jest zupełna (można podać przykład ciągu Cauchy'ego, którego granica wypada poza przestrzeń). Chcąc natomiast uzupełnić tą przestrzeń (czyli dorzucić granice wszystkich ciągów Cauchy'ego) dostajemy przestrzeń \(\displaystyle{ L^2([a,b])}\).