Podprzestrzeń afiniczna przecinająca relatywny brzeg wielokomórki

[golddust]

Zajmuję się tekstem, w którym kilkakrotnie pojawia się następująca informacja. Niestety nie mogę ani nigdzie znaleźć, ani udowodnić takiego twierdzenia.

Mamy w \(\displaystyle{ \RR^n}\) wielokomórkę (polytope - otoczka wypukła zbioru skończonego) \(\displaystyle{ A}\) oraz podprzestrzeń afiniczną \(\displaystyle{ L}\) takie, że \(\displaystyle{ A \cap L \neq \emptyset}\) i wymiar podprzestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \operatorname{aff} A \cap L}\) jest dodatni (czyli nie jest to punkt). Stąd ma wynikać, że ta podprzestrzeń \(\displaystyle{ \operatorname{aff} A \cap L}\) ma niepuste przecięcie z relatywnym brzegiem (relative boundary) \(\displaystyle{ A}\). Relatywny brzeg to \(\displaystyle{ \overline{A}}\) (w tym przypadku \(\displaystyle{ A}\), bo wielokomórka jest domknięta) minus relatywne wnętrze \(\displaystyle{ A}\), a relatywne wnętrze \(\displaystyle{ A}\) to zbiór punktów \(\displaystyle{ a \in A}\) takich, że \(\displaystyle{ K(a,r) \cap \operatorname{aff} A \subset A}\) dla pewnego \(\displaystyle{ r>0}\).

Być może założenie, że \(\displaystyle{ A}\) jest wielokomórką jest niepotrzebne, może wystarczy rozważyć tylko zbiory wypukłe i zwarte? W każdym razie nie wiem jak to uzasadnić, choć jest to dosyć intuicyjne geometrycznie: jeśli przecięcie hiperpłaszczyzn \(\displaystyle{ \operatorname{aff} A}\) i \(\displaystyle{ L}\) jest co najmniej prostą (czyli nie punktem), a \(\displaystyle{ L}\) przecina gdzieś \(\displaystyle{ A}\), to przecina też brzeg \(\displaystyle{ A}\).

[Gosda]

Nie pamiętam, czym dokładnie jest przestrzeń afiniczna, ale się domyślam. Może coś takiego dla \(\displaystyle{ n = 3}\)? Bardzo nieestetyczne, ale chyba działa.

Skoro przecięcie nie jest punktem, to składa się z co najmniej dwóch punktów, \(\displaystyle{ A}\) i jakiegoś innego. Jeśli jeden z nich leży na brzegu wielokomórki, nie ma czego dowodzić. Jeżeli nie, rozpinają prostą. Prosta ta leży częściowo wewnątrz wielokomórkowe, a częściowo na zewnątrz. Wybierzmy dowolny punkt na zewnątrz, nazwijmy go \(\displaystyle{ B}\). Będziemy budować ciąg zstępujących przedziałów ( Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Jeżeli \(\displaystyle{ C}\) leży na brzegu, znowu nie ma czego dowodzić. Jeżeli nie, z dwóch odcinków \(\displaystyle{ AC, CB}\) odrzucamy ten, który leży w całości wewnątrz lub na zewnątrz wielokomórki (w tym momencie korzystam z wypukłości, tak sądzę). Jedyny punkt należący do wszystkich pozostałych odcinków leży na brzegu.

[golddust]

Rzeczywiście, udało mi się formalnie to udowodnić przez takie dzielenie na przedziały, dziękuję!