Norma identyczna z wyjściową

[student123654]

Mam do rozwiązania zadanie
Przyjmijmy bez dowodu, że jeśli pewna norma \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right| }\) spełnia warunek równoległoboku, to wyrażenie \(\displaystyle{ \left\langle v,w\right\rangle = 1/4 \left( \left| \left| v+w\right|^{2} \right| - \left| \left| v-w\right|^{2} \right| \right) }\)
poprawnie określa pewien iloczyn skalarny. Wykazać, że wówczas norma indukowana przez tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest identyczna
z wyjściową normą \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right| }\), tzn. \(\displaystyle{ \sqrt{\left\langle v,v\right\rangle } = \left| \left| v \right| \right| }\)

Znalazłem twierdzenie:
Norma pochodzi od iloczynu skalarnego ⟺ spełnia warunek równoległoboku,
ale nie wiem jak uzasadnić, że norma indukowana przez ten iloczyn będzie identyczna

Zacząłem w ten sposób: \(\displaystyle{ \left\langle v,w\right\rangle = \frac{1}{4} \left( \left| \left| v+w\right|^{2} \right| - \left| \left| v-w\right|^{2} \right| \right) }\)
za \(\displaystyle{ \left| \left| v-w\right|^{2} \right|}\) podstawiłem, korzystając z warunku równoległoboku, wyszło
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \left| \left| v+w \right| \right| ^{2} - \left| \left| v \right| \right| ^{2} - \left| \left| w \right| \right| ^{2} \right) }\)

Niestety nie wiem, co dalej. Nie jestem pewien czy tak trzeba to uzasadniać

[Dasio11]

Skoro do udowodnienia jest tożsamość \(\displaystyle{ \sqrt{\left< v, v \right>} = \| v \|}\), a dany jest wzór na \(\displaystyle{ \left< v, w \right>}\), to co trzeba zrobić, żeby obliczyć lewą stronę tożsamości?

[student123654]

Tak, rozumiem. Zaczynamy od
\(\displaystyle{ \sqrt{\left| \left| v,v\right| \right| } = \sqrt{\frac{1}{2} \left( \left| \left| v+v\right| \right| ^{2} - \left| \left| v\right| \right| ^{2} - \left| \left| v\right| \right| ^{2} \right)} = \sqrt{\left| \left| v\right| \right| ^{2} } = \left| \left| v\right| \right| }\)

Chodzi po prostu o to, że aby to uzasadnić musimy cały czas operować na normach i nie możemy przechodzić na iloczynu skalarnego?

[Dasio11]

Źle. Nie rozumiem, dlaczego mielibyśmy nie mówić o iloczynie skalarnym - przecież zadanie polega na wykazaniu, że pewien iloczyn skalarny definiuje tę samą normę, co wyjściowa.

Poprawne rozwiązanie jest takie:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left< v, v \right> } = \sqrt{ \frac{1}{4} \left( \| v+v \|^2 - \| v - v \|^2 \right) } = \frac{1}{2} \sqrt{ \| 2v \|^2 - \| \vec{0} \|^2 } = \frac{1}{2} \sqrt{ 4 \| v \|^2 } = \| v \|}\).