Sprawdzić, który operator jest błędnie zdefiniowany:
\(\displaystyle{ a) \ \ Au=\frac{du}{dx}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{1}_{2}(0, \infty ): \ \ u(0)=0 \right\} }\)
\(\displaystyle{ b) \ \ Au=i \cdot \frac{du}{dx}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{1}_{2}(0, \infty ): \ \ u'(0)=0 \right\} }\)
\(\displaystyle{ c) \ \ Au=- \frac{d^{2}u}{dx^{2}}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{2}_{2}(0, \infty ): \ \ u(0)=u'(0)=0 \right\} }\)
\(\displaystyle{ d) \ \ Au=i \cdot \frac{d^{2}u}{dx^{2}}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{2}_{2}(0, \infty ): \ \ u(0)=u'(0)=0 \right\} }\)
Dla mnie wszystkie wyglądają dobrze zdefiniowane. Nie wiem czego powinienem się tutaj doszukiwać.
Operatory różniczkowe
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Re: Operatory różniczkowe
Trudno mi powiedzieć, co autor miał na myśli. Ja widzę dwa problemy:
#1 Czy zbiór podany jako \(\displaystyle{ D(A)}\) jest dobrze zdefiniowany? Domyślam się, że traktujemy tu elementy przestrzeni Sobolewa jako funkcje na \(\displaystyle{ [0,\infty)}\) (i w jednym wymiarze to jest OK), ale z ich pochodnymi trzeba uważać. Warunkowi \(\displaystyle{ u'(0)=0}\) trudno nadać sens, jeśli nie mamy żadnych założeń na drugą pochodną.
#2 Jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest w przestrzeni Sobolewa, to każda z podanych definicji \(\displaystyle{ Au}\) jest poprawna jako - powiedzmy - definicja dystrybucji. Żeby sensownie zadać pytanie o poprawność definicji, trzeba więc również określić przeciwdziedzinę \(\displaystyle{ A}\). I wtedy np. pytanie "czy jest to poprawna definicja operatora \(\displaystyle{ A \colon D(A) \to L^2(0,\infty)}\)" ma sens.
#1 Czy zbiór podany jako \(\displaystyle{ D(A)}\) jest dobrze zdefiniowany? Domyślam się, że traktujemy tu elementy przestrzeni Sobolewa jako funkcje na \(\displaystyle{ [0,\infty)}\) (i w jednym wymiarze to jest OK), ale z ich pochodnymi trzeba uważać. Warunkowi \(\displaystyle{ u'(0)=0}\) trudno nadać sens, jeśli nie mamy żadnych założeń na drugą pochodną.
#2 Jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest w przestrzeni Sobolewa, to każda z podanych definicji \(\displaystyle{ Au}\) jest poprawna jako - powiedzmy - definicja dystrybucji. Żeby sensownie zadać pytanie o poprawność definicji, trzeba więc również określić przeciwdziedzinę \(\displaystyle{ A}\). I wtedy np. pytanie "czy jest to poprawna definicja operatora \(\displaystyle{ A \colon D(A) \to L^2(0,\infty)}\)" ma sens.