Operatory różniczkowe

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Operatory różniczkowe

Post autor: Benny01 »

Sprawdzić, który operator jest błędnie zdefiniowany:

\(\displaystyle{ a) \ \ Au=\frac{du}{dx}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{1}_{2}(0, \infty ): \ \ u(0)=0 \right\} }\)
\(\displaystyle{ b) \ \ Au=i \cdot \frac{du}{dx}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{1}_{2}(0, \infty ): \ \ u'(0)=0 \right\} }\)
\(\displaystyle{ c) \ \ Au=- \frac{d^{2}u}{dx^{2}}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{2}_{2}(0, \infty ): \ \ u(0)=u'(0)=0 \right\} }\)
\(\displaystyle{ d) \ \ Au=i \cdot \frac{d^{2}u}{dx^{2}}, \ \ D(A)=\left\{ u \in W^{2}_{2}(0, \infty ): \ \ u(0)=u'(0)=0 \right\} }\)

Dla mnie wszystkie wyglądają dobrze zdefiniowane. Nie wiem czego powinienem się tutaj doszukiwać.
szw1710

Re: Operatory różniczkowe

Post autor: szw1710 »

Czy operator jest określony na tym zbiorze, który jest wskazany.
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Operatory różniczkowe

Post autor: Benny01 »

Nie widzę czemu miałoby tak nie być. Mam to w jakiś konkretny sposób pokazać?
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 89 razy

Re: Operatory różniczkowe

Post autor: Elvis »

Trudno mi powiedzieć, co autor miał na myśli. Ja widzę dwa problemy:

#1 Czy zbiór podany jako \(\displaystyle{ D(A)}\) jest dobrze zdefiniowany? Domyślam się, że traktujemy tu elementy przestrzeni Sobolewa jako funkcje na \(\displaystyle{ [0,\infty)}\) (i w jednym wymiarze to jest OK), ale z ich pochodnymi trzeba uważać. Warunkowi \(\displaystyle{ u'(0)=0}\) trudno nadać sens, jeśli nie mamy żadnych założeń na drugą pochodną.

#2 Jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest w przestrzeni Sobolewa, to każda z podanych definicji \(\displaystyle{ Au}\) jest poprawna jako - powiedzmy - definicja dystrybucji. Żeby sensownie zadać pytanie o poprawność definicji, trzeba więc również określić przeciwdziedzinę \(\displaystyle{ A}\). I wtedy np. pytanie "czy jest to poprawna definicja operatora \(\displaystyle{ A \colon D(A) \to L^2(0,\infty)}\)" ma sens.
ODPOWIEDZ