Granica w przestrzeni l^1

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ x=(x_n)}\) będzie ciągiem z przestrzeni \(\displaystyle{ l^1}\). Należy udowodnić, że

\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\left( h_n^2\left( \frac{1}{n}+3x_n\right) +h_n^3 \right) }{\sum_{n=1}^{\infty}|h_n|}=0}\)

Jest to zbieżność w normie przestrzeni \(\displaystyle{ l^1}\), \(\displaystyle{ h=(h_1,h_2,\ldots)\in l^1}\)

Udało mi się oszacować (myślę, że poprawnie) jedynie drugi człon:

\(\displaystyle{ \frac{\left| \sum_{n=1}^{\infty} h_n^3\right| }{\sum_{n=1}^{\infty}|h_n|}\leq \frac{ \sum_{n=1}^{\infty} |h_n|^3}{\sum_{n=1}^{\infty}|h_n|} \leq \frac{\left( \sum_{n=1}^{\infty} |h_n|\right)^3 }{\sum_{n=1}^{\infty}|h_n|}=\left( \sum_{n=1}^{\infty} |h_n|\right)^2 \to 0 }\)

[Dasio11]

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\):

\(\displaystyle{ \left| h_n^2 \left( \frac{1}{n} + 3x_n \right) \right| \le |h_n| \cdot \| h \|_1 \cdot ( 1 + 3 \| x \|_1 )}\)

więc

\(\displaystyle{ \left| \frac{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} h_n^2 \left( \frac{1}{n} + 3x_n \right) }{\| h \|_1} \right| \le \frac{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} |h_n| \cdot \| h \|_1 \cdot (1+3\|x\|_1) }{ \|h\|_1 } = \| h \|_1 \cdot (1+3\|x\|_1) }\)

i prawa strona zbiega do zera przy \(\displaystyle{ h \to 0}\).