Przestrzeń Banacha a Hilberta

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń Banacha a Hilberta

Post autor: Unforg1ven »

Czy dobrze rozumiem, że przestrzeń Hilberta rożni się od przestrzeni Banacha, tylko tym że przestrzeń Hilberta posiada dodatkową strukturę iloczynu skalarnego?
Czyli np. przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1] }\) z normą supremum jest przestrzenią Banacha a nie jest przestrzenią Hilberta.
(Bo z tego co wiem to nie istnieje symetryczna dwu forma indukująca normę supremum.)
Czy dobrze to wszystko rozumiem, czy coś jeszcze pominąłem?
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 22:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu.
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Re: Przestrzeń Banacha a Hilberta

Post autor: Peter Zof »

Tak, różnica polega na tym, że w przestrzeni Hilberta norma ma pochodzić od iloczynu skalarnego co jest dość silnym warunkiem. Przykładowo każda przestrzeń Hilberta \(\mathcal{H}\) jest refleksywna, to znaczy jest ona izometrycznie izomorficzna (jako przestrzeń unormowana) ze swoją przestrzenią bidualną \(\mathcal{H}^{**}\). To, że przestrzeń \(X=\mathcal{C}[0,1]\) nie jest refleksywna wynika przykładowo z twierdzenia Riesza-Markova-Kakutaniego o reprezentacji. Jednak są prostsze sposoby, aby udowodnić, że \(X\) nie jest przestrzenią Hilberta.
ODPOWIEDZ