Czy dobrze rozumiem, że przestrzeń Hilberta rożni się od przestrzeni Banacha, tylko tym że przestrzeń Hilberta posiada dodatkową strukturę iloczynu skalarnego?
Czyli np. przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1] }\) z normą supremum jest przestrzenią Banacha a nie jest przestrzenią Hilberta.
(Bo z tego co wiem to nie istnieje symetryczna dwu forma indukująca normę supremum.)
Czy dobrze to wszystko rozumiem, czy coś jeszcze pominąłem?
Przestrzeń Banacha a Hilberta
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Przestrzeń Banacha a Hilberta
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 22:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu.
Powód: Poprawa tematu.
- Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Re: Przestrzeń Banacha a Hilberta
Tak, różnica polega na tym, że w przestrzeni Hilberta norma ma pochodzić od iloczynu skalarnego co jest dość silnym warunkiem. Przykładowo każda przestrzeń Hilberta \(\mathcal{H}\) jest refleksywna, to znaczy jest ona izometrycznie izomorficzna (jako przestrzeń unormowana) ze swoją przestrzenią bidualną \(\mathcal{H}^{**}\). To, że przestrzeń \(X=\mathcal{C}[0,1]\) nie jest refleksywna wynika przykładowo z twierdzenia Riesza-Markova-Kakutaniego o reprezentacji. Jednak są prostsze sposoby, aby udowodnić, że \(X\) nie jest przestrzenią Hilberta.