Baza ortonormalna przestrzeni Hilberta

[mowzorn]

Dlaczego przy definiowaniu bazy przestrzeni Hilberta jest konieczne założenie, by domknięcie powłoki liniowej nad wektorami z bazy było całą przestrzenią? Chciałbym zrozumieć dlaczego pojawia się operacja domknięcia, zamiast naturalnego wydawałoby się założenia, znanego z algebry liniowej w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych, że po prostu dana powłoka liniowa jest całą przestrzenią.

[matmatmm]

Jaką dokładnie definicję masz na myśli? Pytam dlatego, że w definicji zwyczajnej bazy nie ma operacji domknięcia. Czy chodzi o bazę Schaudera?

[mowzorn]

Spotykałem sie z jedynie z definicją taką że baza ortonormalna to zbiór wektorów ortonormalnych o tej własności że domknięcie powłoki liniowej nad tym zbiorem jest całą przestrzenią.

[matmatmm]

No cóż, definicji się nie dowodzi. Można czasem przedstawić jakąś motywację, czemu jest taka, a nie inna (nie podejmuję się). W tym przypadku dobrze jest wiedzieć, że baza ortonormalna nie zawsze jest bazą w normalnym sensie.

[a4karo]

W przestrzeni \(l_2\) wektory z jedynką na \(i\)-tym miejscu i zerami poza tym tworzą bazę ortogonalną, ale nie są bazą w sensie przestrzeni liniowej. Co więcej, nie da się jej rozszerzyć ani o jeden wektor, bez popsucia ortogonalności.

[mowzorn]

Dlaczego nie tworzą bazy? Mógłbyś podać jakiś kontrprzykład?

[a4karo]

Bo nie każdy element przestrzeni jest SKOŃCZONĄ kombinacja liniową tychże

[mowzorn]

Ach faktycznie, w definicji bazy jest skończona kombinacja. Dzięki za pomoc