Norma operatora liniowego: dziwne przejście w dowodzie

[Indifferentiable]

Norma operatora \(\displaystyle{ A \in L(X,Y)}\) (X i Y to przestrzenie unormowane):
\(\displaystyle{ \| A\| = \inf \{ L \ge 0: \forall x \in X, \| Ax\| \le L \cdot\| x\| \}}\)


Fragment dowodu, że norma operatora liniowego i ciągłego spełnia warunki normy w przestrzeni liniowej operatorów ciągłych i liniowych \(\displaystyle{ L(X,Y)}\):


\(\displaystyle{ \ldots}\)

\(\displaystyle{ \underline{\|(\lambda A)x\|} = \|\lambda(Ax)\| = |\lambda|\cdot\| Ax\| \le |\lambda|\cdot(\| A\|\cdot\| x\|) = \underline{(|\lambda|\cdot\| A\|)\cdot\| x\|}}\)

Stąd \(\displaystyle{ \|\lambda A\| \le |\lambda| \cdot\| A\|}\)

\(\displaystyle{ \cdots}\)




Dlaczego z pierwszej linijki wynika druga linijka?
Rozumiem wszystkie przekształcenia oprócz tego. Już kilka razy widzę to przejście w różnych dowodach i nadal nie wiem dlaczego jest prawdziwe.
Dlaczego nagle \(\displaystyle{ x}\) znika?

[karolex123]

Wynika to z dowolności \(\displaystyle{ x \in X}\). Masz bowiem, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \parallel(\lambda A)x\parallel \le (|\lambda|\cdot\parallel A\parallel)\cdot\parallel x\parallel}\), a zatem nieujemna liczba rzeczywista \(\displaystyle{ |\lambda| \parallel A\parallel}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \{ L \ge 0: \forall x \in X, \parallel (\lambda A) x\parallel \le L \cdot\parallel x\parallel \}}\). Z definicji infimum mamy co chcemy.