Równanie różnicowe, transformata Z

[Adammy]

Dobry wieczór, serdecznie proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania korzystając z metod transformaty Z.

\(\displaystyle{ f \left( n+2 \right) -f \left( n \right) =\sin \left( n- \frac{ \pi }{4} \right) \\
n=0,1,... \\
f \left( 0 \right) =1, f \left( 1 \right) =-1}\)

Zależy mi bardzo na pokazaniu rozwiązania krok po kroku.

[janusz47]

Jest to równanie różnicowe II rzędu - niejednorodne.

Stosujemy przekształcenie \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) do obu stron równania

\(\displaystyle{ \mathcal{Z}\left[f(n+2) -f(n)\right] = \mathcal{Z}\left[\sin(n-\frac{\pi}{4}) \right]}\)

Uwzględniając warunki początkowe - ze wzorów na pochodną II rzędu i przesuniętą funkcję sinus otrzymujemy

\(\displaystyle{ z^2F(z) -z^2f(0) - zf(1) -F(z) = \frac{z\sin\left(1 + \frac{\pi}{4}\right) -\frac{1}{\sqrt{2}} z^2}{z^2 -2z\cos(1)+1}}\)

\(\displaystyle{ z^2F(z) -z^2\cdot 1 + z\cdot 1 - F(z) = \frac{z\sin\left( 1 + \frac{\pi}{4}\right) -\frac{1}{\sqrt{2}}z^2}{z^2 -2z\cos(1)+1}}\)

\(\displaystyle{ F(z)(z^2 -1) = z^2 - z + \frac{-0,70711 z^2 + 0,9796 z}{z^2 -1,0806z +1}}\)

\(\displaystyle{ F(z) = \frac{z}{z+1} + \frac{-0,70711 z^2 + 0,9796 z}{(z^2 -1,0806z +1) (z^2 -1)}}\)

Rozkładamy na ułamki proste funkcję wymierną

\(\displaystyle{ g(z) = \frac{-0,70711 z^2 + 0,9796 z}{(z^2 -1,0806z +1) (z^2 -1)}}\)

i przechodzimy do odwrotnego przekształcenia \(\displaystyle{ \mathcal{Z}^{-1}.}\)

Dla uproszczenia obliczeń proszę pierwiastki zespolone mianownika funkcji \(\displaystyle{ g(z)}\) zamienić na \(\displaystyle{ e^{i \phi}.}\)-- 27 cze 2019, o 12:16 --Można też znaleźć transformatę funkcji \(\displaystyle{ s(z) = \sin\left( n - \frac{\pi}{4}\right)}\) z definicji przekształcenia \(\displaystyle{ \mathcal{Z}, \ \ F(z) = \sum_{n=0}^{\infty}f(n) z^{-n},}\) przedstawiając funkcję \(\displaystyle{ s}\) w postaci wzoru Eulera.

[Janusz Tracz]

Rozkładamy na ułamki proste funkcję wymierną

\(\displaystyle{ g(z) = \frac{-0,70711 z^2 + 0,9796 z}{(z^2 -1,0806z +1) (z^2 -1)}}\)

Wygodniej będzie rozłożyć na ułamki proste lekko zmodyfikowaną funkcję \(\displaystyle{ g(z)}\) mianowicie podzieloną uprzednio przez \(\displaystyle{ z}\).

\(\displaystyle{ \frac{g(z)}{{\red{z}}}=\frac{-0,70711 z + 0,9796 }{(z^2 -1,0806z +1) (z^2 -1)}\ \ \leftarrow \text{to zapisz jako ułamki proste}}\)

pozwoli to na sprawne wykorzystanie wzoru \(\displaystyle{ \mathcal{Z}^{-1}\left\{ \frac{{\red{z}}}{z-a}\right\}=a^n}\)