Równoważność norm

[Dejvid96]

W \(\displaystyle{ C[0,1]}\) daną mamy standardową normę całkową \(\displaystyle{ ||\cdot||_c}\) oraz normę:
\(\displaystyle{ ||u||_b=\int_0^1\cos t\cdot|u(t)|dt}\). Czy normy są równoważne?
Z definicji mam oszacowanie:
\(\displaystyle{ \beta\int_0^1\cos t\cdot|u(t)|dt\le\int_0^1|u(t)|dt\le\alpha\int_0^1\cos t\cdot|u(t)|dt}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \cos t\in [-1,1]}\) więc za oszacowania można przyjąć: \(\displaystyle{ \alpha=1,\beta=-1}\)? Czy nawet zrobić większe oszacowanie związane z granicami całkowania i przyjąć \(\displaystyle{ \alpha=1,\beta=0?}\)
Proszę o pomoc

[szw1710]

\(\displaystyle{ \alpha=1}\) jest OK. Musisz mieć \(\displaystyle{ \beta>0.}\) Inaczej nie będzie Ci zachodzić "twierdzenie o trzech ciągach". Środek może Ci zmierzać do zera od strony dodatniej, zaś lewa strona może nawet nie mieć granicy. Popracuj trochę. No i pokaż, że \(\displaystyle{ \|u\|_b}\) rzeczywiście jest normą.

Wskazówka: zauważ, że \(\displaystyle{ 1<\frac{\pi}{2}}\), więc cosinus ostro nie dochodzi do zera.

[Dejvid96]

\(\displaystyle{ \alpha=1}\) jest OK. Musisz mieć \(\displaystyle{ \beta>0.}\) Inaczej nie będzie Ci zachodzić "twierdzenie o trzech ciągach". Środek może Ci zmierzać do zera od strony dodatniej, zaś lewa strona może nawet nie mieć granicy. Popracuj trochę. No i pokaż, że \(\displaystyle{ \|u\|_b}\) rzeczywiście jest normą.

Wskazówka: zauważ, że \(\displaystyle{ 1<\frac{\pi}{2}}\), więc cosinus ostro nie dochodzi do zera.

Z \(\displaystyle{ \beta}\) to się rozpędziłem dając ujemne. Nie wiem czy dobrze rozumiem ale wtedy wystarczy przyjąć np. \(\displaystyle{ \beta=0.000001}\)? Czyli jakąś liczbę, która dąży do 0 z prawej strony?

[a4karo]

Wystarczy, ale nie wystarczy przyjąć, tylko trzeba tę nierówność udowodnić.

Z czystej ciekawości: możesz podać jakąś liczbę, która dąży do zera z prawej strony?

[Dejvid96]

Z czystej ciekawości: możesz podać jakąś liczbę, która dąży do zera z prawej strony?

To był skrót myślowy

[Dasio11]

W ramach sprostowania: wystarczające jest \(\displaystyle{ \beta = 1}\), natomiast \(\displaystyle{ \alpha}\) powinno być większe od \(\displaystyle{ 1}\).

[szw1710]

Tak. Oczywiście.