Twierdzenie o odwzorowaniach izometrycznych

[czarnykotek123]

Czy ma ktoś pomysł, gdzie mogę znaleźć zastosowania Twierdzenia Mazura-Ulama?
Twierdzenie to brzmi tak :

Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą rzeczywistymi przestrzeniami unormowanymi. Wtedy jeśli odwzorowanie \(\displaystyle{ f: X \to Y}\) jest surjektywną izometrią, to \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem afinicznym.

Z góry dziękuję za pomoc .

[Spektralny]

Możesz wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ T\colon X\to X}\) jest ciągłą bijekcją na przestrzeni unormowanej \(\displaystyle{ X}\) o tej własności, że

• \(\displaystyle{ \|Tx + Ty\| = \|x+y\|}\)

dla wszelkich \(\displaystyle{ x,y\in X}\), to \(\displaystyle{ T}\) jest odwzorowaniem liniowym.

Polecam też Twojej uwadze wzmocnienie twierdzenie Mazura-Ulama udowodnione przez Figla:

• T. Figiel, On nonlinear isometric embedding of normed linear spaces, Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Sei. Math. Astronom. Phys. 16 (1968), 185-188.

które ma więcej zastosowań w nieliniowej analizie funkcjonalnej.