Przestrzeń funkcji bezwzględnie całkowalnych

[MrCommando]

Mam w zadaniu daną przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{L}^1\left(\left[a,b\right]\right)}\) funkcji bezwzględnie całkowalnych z normą daną wzorem \(\displaystyle{ \left|\left| f \right|\right|=\int_{a}^{b}\left|f(t)\right| \mbox{d}t}\) dla \(\displaystyle{ f\in\mathcal{L}^1\left(\left[a,b\right]\right)}\). Niech \(\displaystyle{ K\in C\left(\left[a,b\right]\right)}\). Definiujemy odwzorowanie \(\displaystyle{ T(f)(x)=\int_{a}^{x} f(t)K(t)\mbox{d}t}\) dla \(\displaystyle{ f\in\mathcal{L}^1\left(\left[a,b\right]\right)}\).

Mniejsza o to, co mam z tym zrobić. Piszę dlatego, że mam wrażenie, że w treści zadania jest błąd. Na przykład weźmy \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1 &\text{dla } x\in\mathbb{Q}\\ -1 &\text{dla } x\notin\mathbb{Q}\end{cases}}\) określoną na przedziale \(\displaystyle{ \left[0,1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ K(x)\equiv 1}\) na tym samym przedziale. Wtedy przecież \(\displaystyle{ f\in\mathcal{L}^1\left(\left[a,b\right]\right)}\), ale funkcja \(\displaystyle{ f(x)K(x)}\) nie jest całkowalna. Czy to jest niepoprawnie sformułowane zadanie, czy to ja czegoś nie rozumiem? Myślę, że aby dane odwzorowanie było dobrze zdefiniowane, to trzeba by napisać \(\displaystyle{ T(f)(x)=\int_{a}^{x} \left|f(t)\right|K(t)\mbox{d}t}\). W internecie nie znalazłem zbytnio informacji na ten temat, ale rozumiem że funkcja bezwzględnie całkowalna na przedziale, to taka, że istnieje całka z jej modułu.

EDIT: A no i sama ta norma mnie dziwi. Na przyklad jak rozważymy funkcję nieujemną która w każdym punkcie przedziału poza jednym przyjmuje wartość zero, to jej norma jest równa zero, mimo że ta funkcja nie jest wektorem zerowym. Przyszło mi do głowy jeszcze, że jak rozważymy sumę tych dwóch funkcji, które na początku podałem jako przykład, to mimo że obie są bezwzględnie całkowalne, to ich suma nie. Więc wynikałoby, że to nawet nie jest przestrzeń liniowa - raczej wynika z tego, że źle chyba rozumiem co to znaczy bezwzględna całkowalność.

[Slup]

Jeśli całkę rozumiemy jako całkę w sensie Lebesgue'a, to moim zdaniem wszystko z zadaniem jest w porządku.

Mniejsza o to, co mam z tym zrobić. Piszę dlatego, że mam wrażenie, że w treści zadania jest błąd. Na przykład weźmy \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1 &\text{dla } x\in\mathbb{Q}\\ -1 &\text{dla } x\notin\mathbb{Q}\end{cases}}\) określoną na przedziale \(\displaystyle{ \left[0,1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ K(x)\equiv 1}\) na tym samym przedziale. Wtedy przecież \(\displaystyle{ f\in\mathcal{L}^1\left(\left[a,b\right]\right)}\), ale funkcja \(\displaystyle{ f(x)K(x)}\) nie jest całkowalna.

Dlaczego nie jest całkowalna skoro \(\displaystyle{ f(x)K(x) = f(x)}\) i sam uważasz, że \(\displaystyle{ f}\) jest absolutnie całkowalna?

W internecie nie znalazłem zbytnio informacji na ten temat, ale rozumiem że funkcja bezwzględnie całkowalna na przedziale, to taka, że istnieje całka z jej modułu.

Z wartości bezwzględnej. Tak.

EDIT: A no i sama ta norma mnie dziwi. Na przyklad jak rozważymy funkcję nieujemną która w każdym punkcie przedziału poza jednym przyjmuje wartość zero, to jej norma jest równa zero, mimo że ta funkcja nie jest wektorem zerowym.

Technicznie rzecz biorąc jest to pół-norma na przestrzeni tych funkcji. Pół-norma ma wszystkie własności normy poza tym, że \(\displaystyle{ ||v|| = 0}\) niekoniecznie pociąga za sobą \(\displaystyle{ v=0}\).

Przyszło mi do głowy jeszcze, że jak rozważymy sumę tych dwóch funkcji, które na początku podałem jako przykład, to mimo że obie są bezwzględnie całkowalne, to ich suma nie. Więc wynikałoby, że to nawet nie jest przestrzeń liniowa - raczej wynika z tego, że źle chyba rozumiem co to znaczy bezwzględna całkowalność.

Dlaczego?

[MrCommando]

Jeśli całkę rozumiemy jako całkę w sensie Lebesgue'a, to moim zdaniem wszystko z zadaniem jest w porządku.

Jestem na pierwszym roku. Teoria miary i całki dopiero za semestr. To zadanie jest przy okazji analizy wielu zmiennych i różniczek odwzorowań na przestrzeniach unormowanych.

Dlaczego nie jest całkowalna skoro \(\displaystyle{ f(x)K(x) = f(x)}\) i sam uważasz, że \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna?

W sensie Riemanna nie jest, co najwyżej w sensie Lebesgue z tego co się orientuję. Jedynie bezwzględnie całkowalna.

Dlaczego?

Jak rozważymy funkcję \(\displaystyle{ f(x)+K(x)}\) to mamy tak naprawdę funkcję Dirichleta (razy dwa) nie mającą calki Riemanna.

[Slup]

Jeśli całkę rozumiemy jako całkę w sensie Lebesgue'a, to moim zdaniem wszystko z zadaniem jest w porządku.

Jestem na pierwszym roku. Teoria miary i całki dopiero za semestr. To zadanie jest przy okazji analizy wielu zmiennych i różniczek odwzorowań na przestrzeniach unormowanych.

Dlaczego nie jest całkowalna skoro \(\displaystyle{ f(x)K(x) = f(x)}\) i sam uważasz, że \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna?

W sensie Riemanna nie jest, co najwyżej w sensie Lebesgue z tego co się orientuję. Jedynie bezwzględnie całkowalna.

Dlaczego?

Jak rozważymy funkcję \(\displaystyle{ f(x)+K(x)}\) to mamy tak naprawdę funkcję Dirichleta (razy dwa) nie mającą calki Riemanna.

Jeśli jesteś na pierwszym roku, to powinieneś zgłosić reklamację do prowadzącego. Możesz też zrobić to zadanie wstawiając w miejsce \(\displaystyle{ L^1([a,b])}\) przestrzeń \(\displaystyle{ C([a,b])}\) (w przyszłym semestrze zamienisz znowu w rozwiązaniu oznaczenia i będziesz miał rozwiązanie dla przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a).

Poza tym przy interpretacji całki jako całki Riemanna wszystkie Twoje uwagi są zasadne.

[MrCommando]

Tak właśnie sądziłem Bardzo dziękuję!