Odwzorowanie zwężające

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Odwzorowanie zwężające

Post autor: Dejvid96 »

Mam problem z zadaniem:
Sprawdź czy odwzorowanie jest zwężające korzystając z twierdzenia o wartości średniej:
\(\displaystyle{ f:[0,1]\rightarrow[0,1], f(x)=\frac{1}{3}x^2}\)
W zeszycie mam zapisane, że wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\). Wtedy odwzorowanie jest zwężające. Więc wziąłem \(\displaystyle{ c=\frac{1}{2}}\) i wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), czyli odwzorowanie jest zwężające. Czy to jest dobre rozwiązanie? Jak można ewentualnie lepiej zapisać rozwiązanie.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Odwzorowanie zwężające

Post autor: matmatmm »

Należy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\) dla każdego \(\displaystyle{ c\in (0,1)}\)
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Re: Odwzorowanie zwężające

Post autor: Dejvid96 »

matmatmm pisze:Należy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\) dla każdego \(\displaystyle{ c\in (0,1)}\)
Jak to zrobić bo nie bardzo umiem
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Odwzorowanie zwężające

Post autor: Premislav »

Te zadania to właściwie analiza funkcjonalna (fakt że nie jakieś super zadanka, raczej totalne podstawy), a sprawdzenie tego, co napisał matmatmm, to poziom szkoły średniej. Należy sobie zadać bardzo ważne pytanie: jak dotarłeś tutaj, gdzie jesteś?

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=R9nwb5AYnH0
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Odwzorowanie zwężające

Post autor: MrCommando »

Dziwi mnie sam fakt, że w poleceniu jest przykazane, żeby zastosować twierdzenie Lagrange'a. Przecież to zadanie można wzorami skróconego mnożenia zrobić. Realizacja jest na poziomie liceum, jak Premislav napisał. No ale jakbyś już się uparł na tego Lagrange'a, to tak:

Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Re: Odwzorowanie zwężające

Post autor: Dejvid96 »

MrCommando pisze:Dziwi mnie sam fakt, że w poleceniu jest przykazane, żeby zastosować twierdzenie Lagrange'a. Przecież to zadanie można wzorami skróconego mnożenia zrobić. Realizacja jest na poziomie liceum, jak Premislav napisał. No ale jakbyś już się uparł na tego Lagrange'a, to tak:

Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.
Dziękuję za pomoc, wiem to zadanie można zrobić wzorami, ale wzory skróconego mnożenia działają tylko dla funkcji kwadratowej, a słyszałem, że Tw. Lagrange'a jest uogólnieniem.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Odwzorowanie zwężające

Post autor: Dasio11 »

Dejvid96 pisze:W zeszycie mam zapisane, że wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\).
To nie wystarczy, żeby odwzorowanie było zwężające. Powinno być: istnieje stała \(\displaystyle{ L in [0, 1)}\), taka że \(\displaystyle{ |f'(c)| \le L}\) dla każdego \(\displaystyle{ c \in (0, 1)}\).
ODPOWIEDZ