Mam problem z zadaniem:
Sprawdź czy odwzorowanie jest zwężające korzystając z twierdzenia o wartości średniej:
\(\displaystyle{ f:[0,1]\rightarrow[0,1], f(x)=\frac{1}{3}x^2}\)
W zeszycie mam zapisane, że wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\). Wtedy odwzorowanie jest zwężające. Więc wziąłem \(\displaystyle{ c=\frac{1}{2}}\) i wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), czyli odwzorowanie jest zwężające. Czy to jest dobre rozwiązanie? Jak można ewentualnie lepiej zapisać rozwiązanie.
Odwzorowanie zwężające
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 4 razy
Re: Odwzorowanie zwężające
Jak to zrobić bo nie bardzo umiemmatmatmm pisze:Należy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\) dla każdego \(\displaystyle{ c\in (0,1)}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Odwzorowanie zwężające
Te zadania to właściwie analiza funkcjonalna (fakt że nie jakieś super zadanka, raczej totalne podstawy), a sprawdzenie tego, co napisał matmatmm, to poziom szkoły średniej. Należy sobie zadać bardzo ważne pytanie: jak dotarłeś tutaj, gdzie jesteś?
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=R9nwb5AYnH0
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Odwzorowanie zwężające
Dziwi mnie sam fakt, że w poleceniu jest przykazane, żeby zastosować twierdzenie Lagrange'a. Przecież to zadanie można wzorami skróconego mnożenia zrobić. Realizacja jest na poziomie liceum, jak Premislav napisał. No ale jakbyś już się uparł na tego Lagrange'a, to tak:
Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.
Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 4 razy
Re: Odwzorowanie zwężające
Dziękuję za pomoc, wiem to zadanie można zrobić wzorami, ale wzory skróconego mnożenia działają tylko dla funkcji kwadratowej, a słyszałem, że Tw. Lagrange'a jest uogólnieniem.MrCommando pisze:Dziwi mnie sam fakt, że w poleceniu jest przykazane, żeby zastosować twierdzenie Lagrange'a. Przecież to zadanie można wzorami skróconego mnożenia zrobić. Realizacja jest na poziomie liceum, jak Premislav napisał. No ale jakbyś już się uparł na tego Lagrange'a, to tak:
Dla dowolnych różnych \(\displaystyle{ x, y \in [0,1]}\), które nie są jednocześnie zerami, istnieje \(\displaystyle{ c\in\left(\min\{x,y\}, \max\{x,y\}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}y^2}{x-y}=\frac{2}{3}c}\). Jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \left|\frac{2}{3}c \right|\leq \frac{2}{3}}\). No i dalej chyba wiadomo jak. Chociaż stosowanie tutaj Lagrange'a to przesada.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Odwzorowanie zwężające
To nie wystarczy, żeby odwzorowanie było zwężające. Powinno być: istnieje stała \(\displaystyle{ L in [0, 1)}\), taka że \(\displaystyle{ |f'(c)| \le L}\) dla każdego \(\displaystyle{ c \in (0, 1)}\).Dejvid96 pisze:W zeszycie mam zapisane, że wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ f'(c)<1}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in(0,1)}\).