Korzystając z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym udowodnić, że równanie z niewiadomą funkcją \(\displaystyle{ x\in C[0,1]}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x(t)=\sin (t)+\int_0^1\Big(\frac{t+s}{3}\Big)^3x(s)ds}\).
Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym
-
Dejvid96
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 4 razy
Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym
Ostatnio zmieniony 11 maja 2019, o 01:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym
Niechaj \(\displaystyle{ f: C[0,1] \rightarrow C[0,1]}\) (rzecz jasna, \(\displaystyle{ C[0,1]}\) rozważamy z normą supremum) będzie dana przez
\(\displaystyle{ f(x)(t)=\sin t+\int_0^1\Big(\frac{t+s}{3}\Big)^3x(s)\,\dd s, \ t\in [0,1]}\)
Niech \(\displaystyle{ x(t), \ y(t)\in C[0,1]}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \left| f(x)(t)-f(y)(t)\right| =\\=\left| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3 x(s)\,\dd s- \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3 y(s)\,\dd s \right|=\\ =\left| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\left( x(s)-y(s)\right) \,\dd s \right| \le \\ \le \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3|x(s)-y(s)|\,\dd s\le \\ \le \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\,\dd s \le \\\le \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)|\cdot \sup_{t\in [0,1]}\frac{3}{4}\left( \left( \frac{1+t}{3}\right)^4-\frac{t^4}{3^4} \right)=\\=\frac{5}{36}\cdot \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)|}\)
Wyjaśnię kilka przejść z powyższych, które mogą tego wymagać:
nierówność
\(\displaystyle{ \left| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\left( x(s)-y(s)\right) \,\dd s \right| \le \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3|x(s)-y(s)|\,\dd s}\)
to klasyczna własność całki oznaczonej z funkcji o wartościach rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \left| \int_{a}^{b}g(x)\,\dd x \right| \le \int_{a}^{b} |g(x)|\,\dd x}\)
(nie chce mi się jej udowadniać, można rozpisać sobie sumy całkowe i użyć nierówności trójkąta, po czym przejść do granicy albo skorzystać z \(\displaystyle{ -|g(x)|\le g(x)\le |g(x)|}\) i z monotoniczności całki oznaczonej).
Natomiast nierówność
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3|x(s)-y(s)|\,\dd s\le \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\,\dd s}\)
wynika natychmiast z I twierdzenia o wartości średniej dla całek.
Nad obliczeniem całki
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\,\dd s}\)
nie będę się rozwodził.
\(\displaystyle{ \sup_{t\in [0,1]}\frac{3}{4}\left( \left( \frac{1+t}{3}\right)^4-\frac{t^4}{3^4} \right)}\)
można łatwo znaleźć, zauważając, że funkcja \(\displaystyle{ h(t)=\frac{3}{4}\left( \left( \frac{1+t}{3}\right)^4-\frac{t^4}{3^4} \right)}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc przyjmuje swoje maksimum na tym przedziale w jednym z jego końców, a nietrudno obliczamy, że
\(\displaystyle{ h(1)=\frac{5}{36}>\frac{1}{108}=h(0)}\)
Zbierając to do kupy, mamy już łatwo
\(\displaystyle{ \|f(x)-f(y)\|\le \frac{5}{36}\|x-y\|}\) dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ x,y\in C[0,1]}\) (gdzie \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) oznacza normę supremum).
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{5}{36}\in (0,1)}\), toteż założenia twierdzenia Banacha o kontrakcji są spełnione. Tj. równanie \(\displaystyle{ x=f(x)}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ C[0,1]}\), c.n.d.
\(\displaystyle{ f(x)(t)=\sin t+\int_0^1\Big(\frac{t+s}{3}\Big)^3x(s)\,\dd s, \ t\in [0,1]}\)
Niech \(\displaystyle{ x(t), \ y(t)\in C[0,1]}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ \left| f(x)(t)-f(y)(t)\right| =\\=\left| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3 x(s)\,\dd s- \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3 y(s)\,\dd s \right|=\\ =\left| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\left( x(s)-y(s)\right) \,\dd s \right| \le \\ \le \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3|x(s)-y(s)|\,\dd s\le \\ \le \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\,\dd s \le \\\le \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)|\cdot \sup_{t\in [0,1]}\frac{3}{4}\left( \left( \frac{1+t}{3}\right)^4-\frac{t^4}{3^4} \right)=\\=\frac{5}{36}\cdot \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)|}\)
Wyjaśnię kilka przejść z powyższych, które mogą tego wymagać:
nierówność
\(\displaystyle{ \left| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\left( x(s)-y(s)\right) \,\dd s \right| \le \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3|x(s)-y(s)|\,\dd s}\)
to klasyczna własność całki oznaczonej z funkcji o wartościach rzeczywistych:
\(\displaystyle{ \left| \int_{a}^{b}g(x)\,\dd x \right| \le \int_{a}^{b} |g(x)|\,\dd x}\)
(nie chce mi się jej udowadniać, można rozpisać sobie sumy całkowe i użyć nierówności trójkąta, po czym przejść do granicy albo skorzystać z \(\displaystyle{ -|g(x)|\le g(x)\le |g(x)|}\) i z monotoniczności całki oznaczonej).
Natomiast nierówność
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3|x(s)-y(s)|\,\dd s\le \sup_{s\in [0,1]}|x(s)-y(s)| \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\,\dd s}\)
wynika natychmiast z I twierdzenia o wartości średniej dla całek.
Nad obliczeniem całki
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left( \frac{t+s}{3}\right)^3\,\dd s}\)
nie będę się rozwodził.
\(\displaystyle{ \sup_{t\in [0,1]}\frac{3}{4}\left( \left( \frac{1+t}{3}\right)^4-\frac{t^4}{3^4} \right)}\)
można łatwo znaleźć, zauważając, że funkcja \(\displaystyle{ h(t)=\frac{3}{4}\left( \left( \frac{1+t}{3}\right)^4-\frac{t^4}{3^4} \right)}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc przyjmuje swoje maksimum na tym przedziale w jednym z jego końców, a nietrudno obliczamy, że
\(\displaystyle{ h(1)=\frac{5}{36}>\frac{1}{108}=h(0)}\)
Zbierając to do kupy, mamy już łatwo
\(\displaystyle{ \|f(x)-f(y)\|\le \frac{5}{36}\|x-y\|}\) dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ x,y\in C[0,1]}\) (gdzie \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) oznacza normę supremum).
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{5}{36}\in (0,1)}\), toteż założenia twierdzenia Banacha o kontrakcji są spełnione. Tj. równanie \(\displaystyle{ x=f(x)}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ C[0,1]}\), c.n.d.