Ciągłość odwzorowań

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Ciągłość odwzorowań

Post autor: Dejvid96 »

Zbadaj ciągłość odwzorowań \(\displaystyle{ F:C[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}\), w \(\displaystyle{ C[0,1]}\) mamy normę supremum.
\(\displaystyle{ F(u)=u(1)}\)
\(\displaystyle{ F(u)=\int_0^1u(t)dt}\)
\(\displaystyle{ F(u)=\int_0^1t^2u(t)dt}\)
\(\displaystyle{ F(u)=\int_0^1u^2(t)dt}\)
Dodatkowo dla pierwszego odwzorowania sprawdzić ciągłość gdy przyjmiemy normę całkową w \(\displaystyle{ C[0,1]}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ciągłość odwzorowań

Post autor: a4karo »

Spróbuj coś sam. Pomożemy jak będziesz miał kłopot
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Re: Ciągłość odwzorowań

Post autor: Dejvid96 »

a4karo pisze:Spróbuj coś sam. Pomożemy jak będziesz miał kłopot
Dla przykładu pierwszego mam coś takiego:
\(\displaystyle{ |F(x)-F(y)|=|x(1)-y(1)|=|(x-y)(1)|\le \sup _{t\in[0,1]}|(x-y)(t)|\le\\ \le 1\cdot\sup _{t\in[0,1]}|(x-y)(t)|=1\cdot ||x-y||_\infty}\)


\(\displaystyle{ |F(x)-F(y)|=\Big|\int_0^1x(t)dt-\int_0^1y(t)dt\Big=\Big|\int_0^1(x-y)(t)dt\Big|\le\int_0^1|(x-y)(t)|dt\le\\ \le \sup _{t\in[0,1]}\int_0^1|(x-y)(t)|dt=\int_0^1\sup _{t\in[0,1]}|(x-y)(t)|dt\le\int_0^1|x-y|_\infty=||x-y||_\infty}\)
Ostatnio zmieniony 11 maja 2019, o 13:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ciągłość odwzorowań

Post autor: a4karo »

Pierwsze ok
W drugim trochę zamotales z supremum - całka nie zależy od \(\displaystyle{ t}\). Popraw to
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Re: Ciągłość odwzorowań

Post autor: Dejvid96 »

a4karo pisze:Pierwsze ok
Jak będzie wyglądać pierwszy przykład dla normy całkowej?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ciągłość odwzorowań

Post autor: a4karo »

Dejvid96 pisze:
a4karo pisze:Pierwsze ok
Jak będzie wyglądać pierwszy przykład dla normy całkowej?
Kontrprzykładu poszukaj.
ODPOWIEDZ