czy istnieje dokladnie jedno rozwiazanie rownania

[nnklaudia_1234]

Udowodnić, że następujące równanie z niewiadomą funkcją u ma dokładnie jedno rozwiązanie.
\(\displaystyle{ u(t)=\cos (t) + \int_{0}^{t} 0.4 \cdot \sin (t+s)u(s)ds ~dla~ u \in C[0,1]}\)
Wiem, że należy skorzystać z tw.Banacha o odwz.zwężającym, ustalić operator \(\displaystyle{ F(u)(t)=u(t)=\cos (t) + \int_{0}^{t} 0.4 \cdot \sin (t+s)u(s)ds}\) oraz normę. Jaką normę należy wybrać w tym przypadku i dlaczego?

[Dasio11]

Normę supremum, bo dla takiej odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) będzie zwężające.

Niech \(\displaystyle{ u, v \in C[0, 1]}\). Dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\) mamy

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
| F(u)(t) - F(v)(t) | & = \left| \int \limits_0^t 0.4 \sin(t+s) u(s) \, \dd s - \int \limits_0^t 0.4 \sin(t+s) v(s) \, \dd s \right| \\
& = 0.4 \left| \int \limits_0^t \sin(t+s) \big( u(s) - v(s) \big) \, \dd s \right| \\
& \le 0.4 \int \limits_0^t | \sin(t+s) | \cdot |u(s) - v(s)| \, \dd s \le 0.4 \cdot t \cdot 1 \cdot \| u - v \|_{\infty} \le 0.4 \| u - v \|_{\infty}
\end{align*} $}\)

zatem \(\displaystyle{ \| F(u) - F(v) \|_{\infty} \le 0.4 \| u - v \|_{\infty}}\).