Przekształcenia afiniczne i izometryczne.

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
czarnykotek123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 2 kwie 2019, o 11:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Przekształcenia afiniczne i izometryczne.

Post autor: czarnykotek123 »

Jak dokładnie sformułować podane niżej twierdzenie?
Tw:
\(\displaystyle{ f:X \to Y}\) jest odwzorowaniem izometrycznym. Załóżmy dodatkowo, że \(\displaystyle{ Y}\) jest ściśle wypukły. Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem afinicznym.

W całym rozdziale oznaczamy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jako przestrzenie unormowane, a przestrzeń sama w sobie jest ściśle wypukła, więc założenie, że \(\displaystyle{ Y}\) jest ściśle wypukłe nie ma sensu. Jak więc sformułować to twierdzenie, żeby wykorzystać ścisłą wypukłość zbioru \(\displaystyle{ Y}\)?
Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 7 maja 2019, o 12:03 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Re: Przekształcenia afiniczne i izometryczne.

Post autor: Spektralny »

Ścisła wypukłość przestrzeni unormowanej oznacza tyle, że jej sfera nie zawiera nietrywialnego odcinka.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_%C5%9Bci%C5%9Ble_wypuk%C5%82a
znajdziesz listę równoważnych warunków. Twoje zadanie to wynik Bakera z 1971:
  • J. Baker, , American Math. Monthly 78 (1971), 655-658.
Szkic dowodu. Niech \(\displaystyle{ H_1(x,y) = \{u\in X\colon \|x-u\|=\|y-u\|=\tfrac{1}{2}\|x-y\|\}}\), czyli zdefiniowaliśmy zbiór "środków odległości" między punktami \(\displaystyle{ x,y\in X}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}(x+y)\in H_1}\). Istotnie,
  • \(\displaystyle{ \|x - \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}y\| = \tfrac{1}{2}\|x-y\| = \|y - \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}y\|.}\)

Należy zauważayć, że gdy \(\displaystyle{ Y}\) jest ściśle wypukła, to dla dowolnych \(\displaystyle{ w,z\in Y}\) zbiór \(\displaystyle{ H_1(w,z)}\) składa się dokładnie z jednego elementu, tj. z wektora \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}(w+z)}\).

Do tego, jeżeli \(\displaystyle{ T}\) jest izometrią (suriektywną czy nie) to dla \(\displaystyle{ z\in H_1(x,y)}\) mamy \(\displaystyle{ Tz\in H_1(Tx,Ty)}\). W przypadku ściśle wypukłym mamy więc \(\displaystyle{ T(\tfrac{1}{2}(x+y)) = \tfrac{1}{2}(Tx + Ty)}\). Postępujesz następnie tak jak w dowodzie twierdzenia Mazura-Ulama, tj. wykazujesz, że \(\displaystyle{ T}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb Q}\)-afiniczne, a więc z ciągłości izometrii, afiniczne.
ODPOWIEDZ