Udowodnić, że operator jest dodatni

[Benny01]

Niech \(\displaystyle{ \left\{ e_n\right\}}\) będzie kratą Parsevala w \(\displaystyle{ H}\) oraz niech \(\displaystyle{ B}\) będzie operatorem takim, że \(\displaystyle{ Bf= \sum_{n=1}^{k} n \left\langle f,e_n \right\rangle e_n, \ \ \forall f \in H}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ B}\) jest dodatni.

Ja bym to zrobił w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left\langle Bf, f\right\rangle = \left\langle \sum_{n=1}^{k} n \left\langle f,e_n \right\rangle e_n, f \right\rangle = \sum_{n=1}^{k} \left\langle n \left\langle f,e_n \right\rangle e_n, f \right\rangle = \sum_{n=1}^{k} n\left\langle f,e_n\right\rangle \left\langle e_n,f\right\rangle = \sum_{n=1}^{k} n \left|\left\langle e_n,f\right\rangle \right|^2}\)
Co dowodzi tezy.

Czy to rozumowanie jest poprawne?

[bartek118]

Z krótkim uzasadnieniem, czemu dla \(\displaystyle{ f \neq 0}\) mamy nierówność ostrą \(\displaystyle{ >0}\) - tak.