Matematyka.pl

Potrzebuję obliczyć normę operatorową dla tej oto macierzy będącej liniowym odwzorowaniem przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\):
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right]}\)
dla normy operatorowej danej tym oto wzorem:
\(\displaystyle{ \left| \left| A\right| \right|_{op}=\sup_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left| A(\vec{v})\right| \right|_{2}}\)
Mam wskazówkę, że supremum w tym przypadku sprowadza się do znalezienia maksimum funkcji.

\(\displaystyle{ \left| \left| A\right| \right|_{op}=\sup_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left| A(\vec{v})\right| \right|_{2}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left|\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] \right| \right|_{2}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left|\left[\begin{array}{ccc}x+y\\0\end{array}\right] \right| \right|_{2}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1} \sqrt{(x+y)^{2}}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| x+y\right|}\)

I co mam zrobić dalej, jeżeli do tego momentu było wszystko dobrze?

Przeczytaj to ostatnie wyrażenie na głos wyrażając \(\displaystyle{ ||v||_2}\) w języku \(\displaystyle{ x,y}\)

To otrzymam \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\). Ale jak to zastosować do mojego \(\displaystyle{ \left| x+y\right| ?}\)

Masz znaleźć maksimum funkcji \(\displaystyle{ |x+y|}\) pod warunkiem, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Możesz to robić na parę sposobów: mój preferowany to taki: zastanów się jak wyglądają zbiory \(\displaystyle{ \{(x,y): |x+y|=c\}}\). Narysuj to sobie na kartce. Które z nich "zahaczają" o kółko jednostkowe?

Inny sposób to zauważyć, że \(\displaystyle{ x=\cos t, y=\sin t}\) i znaleźć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ |\sin t+\cos t|}\)

a4karo, Udało mi się to zrobić z tym sinusem i cosinusem. A mółgbyś powiedzieć coś więcej o tym Twoim pierwszym sposobie, bo go chyba nie do końca rozumiem?