Ścisła wypukłość zbioru

[Kordyt]

Spotkał się ktoś z was z definicją ściśle wypukłego zbioru opartą o normę ?

Chodzi o to, że definicję takiego zbioru jaką znam to taka, że odcinek między dowolnymi elementami takiego zbioru powinien zawierać się we wnętrzu tego zbioru. Co znaczy, że np żaden wielokąt nie będzie ściśle wypukły, ale np koło już tak.

Definicja przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej bazuje na normie tzn
jeśli \(\displaystyle{ \Vert x\Vert \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \Vert y\Vert \le 1}\)
to

\(\displaystyle{ \Vert x+y\Vert < 2}\). A więc możemy mieć różne normy i w jednej będzie to przestrzeń ścisle wypukła a w innej nie.

I teraz pytanie moje jest takie, czy można definicję przestrzeni ściśle wypukłej przenieść na dowolny zbiór ?
Spotkałem się z takim zapisem, że możemy zbiór potraktować jako podprzestrzeń unormowaną, ale jak dla mnie to jest bez sensu, bo przecież taki zbiór nie musi być w ogóle podprzestrzenią liniową więc jak można go traktować jako podprzestrzeń unormowaną ? No i gdyby takie coś przyjąć za prawdę to oznaczało by że zbiór może być ściśle wypukły z jedną normą a z inną nie, a to też nijak nie ma się do definicji którą napisałem powyżej a z której wynika że nie wymaga ona w ogóle normy.

[yorgin]

Nie jestem ekspertem, ale...

Ścisła wypukłość to nie własność jako taka zbioru, lecz normy zdefiniowanej na tym zbiorze. Stwierdzenie

Chodzi o to, że definicję takiego zbioru jaką znam to taka, że odcinek między dowolnymi elementami takiego zbioru powinien zawierać się we wnętrzu tego zbioru.

odnosi się ściśle do intuicji stojącej za definicją - sfera nie zawiera odcinków (lub odcinek poza końcami leży wewnątrz kuli). Kule są różne w różnych normach - na przykład kwadratowe i wtedy ścisła wypukłość nie zbioru, a przestrzeni nie zadziała. Wobec tego

Co znaczy, że np żaden wielokąt nie będzie ściśle wypukły

jest fałszywe, gdyż takie wielokąty nie są kulami (chyba, że zdefiniiujesz normę, w której są).

Spotkałem się z takim zapisem, że możemy zbiór potraktować jako podprzestrzeń unormowaną, ale jak dla mnie to jest bez sensu, bo przecież taki zbiór nie musi być w ogóle podprzestrzenią liniową więc jak można go traktować jako podprzestrzeń unormowaną ?

Można, o ile zapomni się o części liniowej. Myślimy wtedy tylko o normie (która jest pojęciem metrycznym, niezwiązanym ze strukturą liniową zbioru) i na takim zbiorze możemy rozważać warunek z definicji, który podałeś wcześniej.

No i gdyby takie coś przyjąć za prawdę to oznaczało by że zbiór może być ściśle wypukły z jedną normą a z inną nie, a to też nijak nie ma się do definicji którą napisałem powyżej a z której wynika że nie wymaga ona w ogóle normy.

Oczywiście - zwykłe \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest ściśle wypukłe w normie euklidesowej, ale nie jest w taksówkowej.

Jest wiele definicji ścisłej wypukłości. Podana przez Ciebie definicja geometryczna

odcinek między dowolnymi elementami takiego zbioru powinien zawierać się we wnętrzu tego zbioru

jest zwykle intuicją stojącą za warunkiem

jeśli \(\displaystyle{ \Vert x\Vert \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \Vert y\Vert \le 1}\) to \(\displaystyle{ \Vert x+y\Vert < 2.}\)

Osobiście nie spotkałem się z definiowaniem ścisłej wypukłości przez patrzenie wyłącznie na geometryczną stronę. Ścisła wypukłość to własność normy.

[Kordyt]

Nie jestem ekspertem, ale...

Ścisła wypukłość to nie własność jako taka zbioru, lecz normy zdefiniowanej na tym zbiorze. Stwierdzenie

Chodzi o to, że definicję takiego zbioru jaką znam to taka, że odcinek między dowolnymi elementami takiego zbioru powinien zawierać się we wnętrzu tego zbioru.

odnosi się ściśle do intuicji stojącej za definicją - sfera nie zawiera odcinków (lub odcinek poza końcami leży wewnątrz kuli). Kule są różne w różnych normach - na przykład kwadratowe i wtedy ścisła wypukłość nie zbioru, a przestrzeni nie zadziała. Wobec tego

Co znaczy, że np żaden wielokąt nie będzie ściśle wypukły

jest fałszywe, gdyż takie wielokąty nie są kulami (chyba, że zdefiniiujesz normę, w której są).

W niektórych materiałach właśnie w ten sposób definiują ścisłą wypukłość zbioru (tę geometryczną).

Spotkałem się z takim zapisem, że możemy zbiór potraktować jako podprzestrzeń unormowaną, ale jak dla mnie to jest bez sensu, bo przecież taki zbiór nie musi być w ogóle podprzestrzenią liniową więc jak można go traktować jako podprzestrzeń unormowaną ?

Można, o ile zapomni się o części liniowej. Myślimy wtedy tylko o normie (która jest pojęciem metrycznym, niezwiązanym ze strukturą liniową zbioru) i na takim zbiorze możemy rozważać warunek z definicji, który podałeś wcześniej.

Ok ale jak mam sprawdzić ten warunek na zbiorze skoro suma wektorów na ogół wyjdzie poza ten zbiór ? A same wartości norm nic nie powiedzą skoro cała przestrzeń jest ściśle wypukła.

No i gdyby takie coś przyjąć za prawdę to oznaczało by że zbiór może być ściśle wypukły z jedną normą a z inną nie, a to też nijak nie ma się do definicji którą napisałem powyżej a z której wynika że nie wymaga ona w ogóle normy.

Oczywiście - zwykłe \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest ściśle wypukłe w normie euklidesowej, ale nie jest w taksówkowej.

No przestrzeń tak i to jest jasne, ale zbiór ?

[Spektralny]

Zauważmy, że ścisła wypukłość przestrzeni sprowadza się do następującego warunku: brzeg kuli (tj. sfera) nie zawiera żadnego niezdegenrowanego odcinka. Rzeczywiście, mówi się czasami o ściśle wypukłych ciałach wypukłych (czy ogólniej zbiorach), tj. zbiorach wypuklych mających powyższą własność.

Taką definicję przyjmuje np. Carter w Foundations of Mathematical Economics.

[yorgin]

Ok ale jak mam sprawdzić ten warunek na zbiorze skoro suma wektorów na ogół wyjdzie poza ten zbiór ? A same wartości norm nic nie powiedzą skoro cała przestrzeń jest ściśle wypukła.

[...]

No przestrzeń tak i to jest jasne, ale zbiór ?

Rozumiem wątpliwości. Ja sam je posiadam. Dla zbiorów można to próbować obejść warunkiem równoważnym temu:

\(\displaystyle{ \Vert x\Vert \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \Vert y\Vert \le 1}\) to \(\displaystyle{ \Vert x+y\Vert < 2.}\)

przez zastąpienie go warunkiem

\(\displaystyle{ \Vert x\Vert = c}\) oraz \(\displaystyle{ \Vert y\Vert =c}\) to \(\displaystyle{ \Vert ax+(1-a)y\Vert < c}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ a\in (0,1)}\). Liczba \(\displaystyle{ c}\) jest tutaj "rozsądnie" dobrana.

W ten sposób można patrzeć na ścisłą wypukłość tylko przez pryzmat tych zbiorów, które zawierają w sobie odcinki o danych końcach. "Omijamy" w ten sposób problem przynależności do zbioru.

Ale jak pisałem na początku, ekspertem w tej kwestii nie jestem.

[Kordyt]

No ok. Tylko jezeli np mamy sprawdzić wypuklosc zbioru w przestrzeni unormowanej ktora jest ściśle wypukla to przecież nawet jak ograniczymy wektory do tego zbioru to wlasnosc ta bedzie zachowana. Wiec jak mozna na podstawie tego oceniac ze jeden zbior bedzie wypukly a inny nie ? Albo jak mozna podac jakis zbiór ktory w jednej normie bedzie ściśle wypukly a w innej nie....

[yorgin]

Tylko jezeli np mamy sprawdzić wypuklosc zbioru w przestrzeni unormowanej ktora jest ściśle wypukla to przecież nawet jak ograniczymy wektory do tego zbioru to wlasnosc ta bedzie zachowana.

Będzie. Dlatego raczej nie mówi się o ścisłej wypukłości zbioru, a raczej przestrzeni. Jest to własność metryczna.

Wiec jak mozna na podstawie tego oceniac ze jeden zbior bedzie wypukly a inny nie ?

Nijak, bo wypukłość i ścisła wypukłość to trochę co innego.

Albo jak mozna podac jakis zbiór ktory w jednej normie bedzie ściśle wypukly a w innej nie....

Normalnie. Za zbiór bierzemy całą przestrzeń unormowaną i wskazujemy dwie normy. I ponownie widzimy, że ścisła wypukłość jest własnością normy, nie zbioru.