Matematyka.pl

NIech (X, ll\(\displaystyle{ \cdot}\)ll) bedzie przestrzenia unormowaną na której zadana jest metryka d. Wykaż że jeśli metryka d jest generowana przez norme to dla kazdego \(\displaystyle{ x, y, z\in X}\) spełnione sa następujace warunki:

a) d(x+z, y+z) = d(x,y) niezmienniczość względem translacji

b) d(ax, ay) = lal d(x, y), \(\displaystyle{ a\in R}\) dodatnia jednorodność

a)
\(\displaystyle{ d(x+z,y+z)=||(x+z)-(y+z)||=||x-y||=d(x,y)}\)

b)
\(\displaystyle{ d(ax,ay)=||ax-ay||=||a(x-y)||=|a| ||x-y||=|a|d(x,y)}\)