Funkcja zdefiniowana jako całka

[Mogget]

Zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}_{\ge 0}\rightarrow \mathbb{R}}\) następująco:

\(\displaystyle{ f=\begin{cases} 0 & x\in [0,1[ \\ 1 & x\in [1,2[ \\ \int_{x-2}^{x-1} f(t) \mbox{d}t & x \ge 2 \end{cases}}\).

Funkcja ta jest ciągła dla \(\displaystyle{ x > 2}\), należy wykazać, że ma ona granicę w nieskończoności.
Intuicyjnie, funkcja ta jest coraz bardziej płaska. Korzystając z Twierdzenia Arzeli-Ascoliego pokazałem, że dla pewnego ciągu liczb naturalnych \(\displaystyle{ (n_k)_{k\in \mathbb{N}}}\) ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f|_{[n_k, n_k +2]} )_{k\in\mathbb{N}}}\) jest jednostajnie zbieżny, nie umiem jednak wyciągnąć z tego szukanego wniosku. Będę wdzięczny za sugestie.