podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Laura120
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 cze 2016, o 19:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Post autor: Laura120 »

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną i niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie zbiorem zwartym. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ intA=\emptyset}\).

Wiem, że w nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej nie istnieją zbiory zwarte o niepustym wnętrzu, bo gdyby to miało miejsce, to kula domknięta zawarta w takim zbiorze byłaby zwarta jako domknięty podzbiór zbioru zwartego, a tak nie jest.
Czy takie uzasadnienie jest wystarczające jako rozwiązanie powyższego zadania?
szw1710

podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Post autor: szw1710 »

Dla mnie tak. Proste, a szczegóły ukryte są w braku zwartości kuli.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Post autor: bartek118 »

Intuicyjnie - jeśli weźmiemy kulę; bez straty ogólności - o środku w zerze; to zawiera ona po kawałku każdej "osi współrzędnych"; na każdej osi wybierasz sobie jeden wektor, wszystkie o takiej samej normie. Osi jest nieskończenie wiele, więc możemy wziąć taki nieskończony ciąg wektorów. Oczywiście taki ciąg nie może mieć podciągu zbieżnego, bo "nie ma gdzie umiejscowić granicy" - odległości między tymi wektorami są 'duże'.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Post autor: Spektralny »

Zastosuj po prostu

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Lemat_Riesza
by uzasadnić, że kula w przestrzeni nieskończenie wymiarowej nie jest zwarta.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Post autor: Dasio11 »

bartek118 pisze:Oczywiście taki ciąg nie może mieć podciągu zbieżnego, bo "nie ma gdzie umiejscowić granicy" - odległości między tymi wektorami są 'duże'.
Jeśli nie zrobimy tej konstrukcji używając wspomnianego lematu Riesza, to powyższe stwierdzenie może być nieprawdziwe, bo osie mogą leżeć coraz bliżej siebie.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni

Post autor: bartek118 »

Dasio11 pisze:
bartek118 pisze:Oczywiście taki ciąg nie może mieć podciągu zbieżnego, bo "nie ma gdzie umiejscowić granicy" - odległości między tymi wektorami są 'duże'.
Jeśli nie zrobimy tej konstrukcji używając wspomnianego lematu Riesza, to powyższe stwierdzenie może być nieprawdziwe, bo osie mogą leżeć coraz bliżej siebie.
Chciałem jedynie naszkicować pewną intuicję, dlaczego tak się dzieje.
ODPOWIEDZ