Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną i niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie zbiorem zwartym. Uzasadnić, że \(\displaystyle{ intA=\emptyset}\).
Wiem, że w nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej nie istnieją zbiory zwarte o niepustym wnętrzu, bo gdyby to miało miejsce, to kula domknięta zawarta w takim zbiorze byłaby zwarta jako domknięty podzbiór zbioru zwartego, a tak nie jest.
Czy takie uzasadnienie jest wystarczające jako rozwiązanie powyższego zadania?
podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni
podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni
Dla mnie tak. Proste, a szczegóły ukryte są w braku zwartości kuli.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni
Intuicyjnie - jeśli weźmiemy kulę; bez straty ogólności - o środku w zerze; to zawiera ona po kawałku każdej "osi współrzędnych"; na każdej osi wybierasz sobie jeden wektor, wszystkie o takiej samej normie. Osi jest nieskończenie wiele, więc możemy wziąć taki nieskończony ciąg wektorów. Oczywiście taki ciąg nie może mieć podciągu zbieżnego, bo "nie ma gdzie umiejscowić granicy" - odległości między tymi wektorami są 'duże'.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni
Zastosuj po prostu by uzasadnić, że kula w przestrzeni nieskończenie wymiarowej nie jest zwarta.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Lemat_Riesza
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni
Jeśli nie zrobimy tej konstrukcji używając wspomnianego lematu Riesza, to powyższe stwierdzenie może być nieprawdziwe, bo osie mogą leżeć coraz bliżej siebie.bartek118 pisze:Oczywiście taki ciąg nie może mieć podciągu zbieżnego, bo "nie ma gdzie umiejscowić granicy" - odległości między tymi wektorami są 'duże'.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: podzbiór zwarty nieskończenie wymiarowej przestrzeni
Chciałem jedynie naszkicować pewną intuicję, dlaczego tak się dzieje.Dasio11 pisze:Jeśli nie zrobimy tej konstrukcji używając wspomnianego lematu Riesza, to powyższe stwierdzenie może być nieprawdziwe, bo osie mogą leżeć coraz bliżej siebie.bartek118 pisze:Oczywiście taki ciąg nie może mieć podciągu zbieżnego, bo "nie ma gdzie umiejscowić granicy" - odległości między tymi wektorami są 'duże'.