Norma funkcjonału liniowego

[marcinszh]

Wyznaczyć normę funkcjonału liniowego \(\displaystyle{ f: C_{0} \rightarrow \RR}\) określonego wzorem \(\displaystyle{ f( x_{1},x_{2},x_{3},...)= \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{ x_{k} }{ 2^{k} }}\). Dziękuje za pomoc.

[Spektralny]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \|f\|\leqslant 1}\) bo gdy wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_n)}\) są na moduł nie większe niż 1, to

• \(\displaystyle{ |f(x_n)_{n=1}^\infty| \leqslant \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1.}\)

Jest to istotnie norma \(\displaystyle{ f}\) ponieważ jeżeli \(\displaystyle{ g_n}\) oznacza ciąg jedynek na pierwszych \(\displaystyle{ n}\) miejscach po których następują same zera to \(\displaystyle{ \|g_n\| = 1}\) oraz \(\displaystyle{ f(g_n) \to 1}\).