zbieżność w normie słaba zbieżność ciągu w przestrzeni c0

[jenna92]

Cześć mam problem z zadaniem z góry dziękuje za pomoc.
Zadanie Zbadać zbieżność w normie sup i słaba zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (e_n)_{n=1}^\infty}\) w przestrzeni c0.

Mi wyszło, że nie jest zbieżny w normie bo nie jest ciągiem Cauchy'ego <-- Czy to jest dobrze?
Słabej zbieżności nie wiem jak ruszyć - poproszę wskazówki

[Spektralny]

Ciąg ten nie jest zbieżny w normie bo \(\displaystyle{ \|e_j - e_k\|=1}\) dla \(\displaystyle{ j\leq k}\). Ciąg ten jest jednak zbieżny słabo do 0. Rzeczywiście, dla \(\displaystyle{ (\xi_j)_{j=1}^\infty\in \ell_1 \cong c_0^*}\) mamy

• \(\displaystyle{ \langle e_k, (\xi_j)_{j=1}^\infty\rangle = \xi_k \to 0}\)

gdy \(\displaystyle{ k\to\infty}\) ponieważ ciągi sumowalne są zbieżne do zera, co dowodzi słabej zbieżności samego ciągu \(\displaystyle{ (e_k)_{k=1}^\infty}\) do zera.