Cześć mam problem z zadaniem z góry dziękuje za pomoc.
Zadanie Zbadać zbieżność w normie sup i słaba zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (e_n)_{n=1}^\infty}\) w przestrzeni c0.
Mi wyszło, że nie jest zbieżny w normie bo nie jest ciągiem Cauchy'ego <-- Czy to jest dobrze?
Słabej zbieżności nie wiem jak ruszyć - poproszę wskazówki
zbieżność w normie słaba zbieżność ciągu w przestrzeni c0
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: zbieżność w normie słaba zbieżność ciągu w przestrzeni c
Ciąg ten nie jest zbieżny w normie bo \(\displaystyle{ \|e_j - e_k\|=1}\) dla \(\displaystyle{ j\leq k}\). Ciąg ten jest jednak zbieżny słabo do 0. Rzeczywiście, dla \(\displaystyle{ (\xi_j)_{j=1}^\infty\in \ell_1 \cong c_0^*}\) mamy
- \(\displaystyle{ \langle e_k, (\xi_j)_{j=1}^\infty\rangle = \xi_k \to 0}\)