Refleksywność, słaba zbieżność

[musialmi]

W przestrzeniach refleksywnych zbieżności słaba i *-słaba są równoważne. To znaczy, że w \(\displaystyle{ \ell^p}\) zamiast zbieżności słabej można badać *-słabą. Tylko jak? Taki ciąg z \(\displaystyle{ \ell^p}\) staje się funkcjonałem od czego? I wtedy po którym indeksie zbieżność bada się i jak dokładnie? To ostatnie pytanie może odnosić się też do \(\displaystyle{ L^p}\), bo też nie wiem jak to działa:
na przykład mamy \(\displaystyle{ \{f_n\} \subset L^p \langle 0,1\rangle}\), chcemy zbadać słabą zbieżność i zamiast tego decydujemy się na zbadanie *-słabej zbieżności. W tym celu bierzemy dowolny ciąg \(\displaystyle{ x_s}\) elementów z \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\) i badamy zbieżność... jakiego wyrażenia? I po którym indeksie?

[Mogget]

Z definicji ciąg uogólniony \(\displaystyle{ (x_i)_{i\in I}}\) elementów przestrzeni Banach \(\displaystyle{ X}\) zbiega słabo do \(\displaystyle{ x\in X}\) jeśli \(\displaystyle{ \langle \phi,x_i\rangle \to \langle \phi,x\rangle}\) dla każdego \(\displaystyle{ \phi \in X^*}\). Z kolei ciąg uogólniony \(\displaystyle{ (\phi_i)_{i\in I}}\) elementów \(\displaystyle{ X^*}\) zbiega do \(\displaystyle{ \phi\in X^*}\) *-słabo jeśli \(\displaystyle{ \langle \phi_i,x\rangle \to \langle \phi,x\rangle}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\).

Gdy przestrzeń jest refleksyjna to możemy utożsamić \(\displaystyle{ X\simeq X^{**}}\) poprzez \(\displaystyle{ \langle x,\phi\rangle = \langle \phi,x\rangle}\). W szczególności ciąg uogólniony \(\displaystyle{ (x_i)_{i\in I}}\) zbiega *-słabo do \(\displaystyle{ x\in X}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \langle x_i,\phi\rangle \to \langle x,\phi\rangle}\) dla każdego \(\displaystyle{ \phi\in X^*}\), czyli pojęcie zbieżności słabej i *-słabej są tożsame.

W przypadku \(\displaystyle{ \ell^p}\) masz \(\displaystyle{ \ell^p\simeq (\ell^p)^{**}=(\ell^{q})^*}\).

[musialmi]

Więc jeśli mam ciąg funkcji \(\displaystyle{ f_n}\) z \(\displaystyle{ L^p}\) i mam sprawdzić jego słabą zbieżność, to mogę wziąć \(\displaystyle{ g \in (L^p)^\star = L^q}\) i badać zbieżność \(\displaystyle{ \langle g, f_n \rangle}\) lub, równoważnie (z powodu refleksywności) badać gwiazdka-słabą zbieżność ciągu \(\displaystyle{ f_n}\) i wziąć \(\displaystyle{ g}\) z \(\displaystyle{ L^q}\) (bo \(\displaystyle{ (L^q)^\star = L^p}\)) i badać \(\displaystyle{ \langle f_n, g \rangle}\). To o to chodzi?

A jeśli o to chodzi, to nie wiem jak się ma to, co napisałeś, do definicji, które znam ja:
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) przestrzeni Banacha \(\displaystyle{ (X, ||\cdot ||)}\) nazywamy słabo zbieżnym do \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli \(\displaystyle{ \forall x^\star \in X^\star \ x^\star(x_n) \to x^\star(x)}\).

Bo rozumiem, że ta strzałka oznacza zbieżność w normie, tzn. \(\displaystyle{ ||x^\star(x_n) - x^\star(x)|| \to 0}\). Niezbyt widzę związek z iloczynem skalarnym, o którym napisałeś. Jak to działa?

[Mogget]

Tak, z tym, że \(\displaystyle{ \langle f,g\rangle}\) oznacza parowanie pomiędzy \(\displaystyle{ \ell^p,\,\ell^q}\) czyli \(\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} f_k g_k}\). (Dla przestrzeni \(\displaystyle{ L^p}\) analogicznie). W konsekwencji, musisz badać ten sam ciąg liczbowy \(\displaystyle{ \int f_n g}\) niezależnie od tego czy badasz zbieżność \(\displaystyle{ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}}\) w topologii słabej czy *-słabej.

To jest ta sama definicja, \(\displaystyle{ \langle x^*,x\rangle}\) oznacza dokładnie \(\displaystyle{ x^*(x)}\) - to jedynie inna notacja (nie może być mowy o iloczynie skalarnym skoro mamy do czynienia z ogólnymi przestrzeniami Banacha, nie Hilberta). Wyrażenie \(\displaystyle{ x^*(x)=\langle x^*,x\rangle}\) jest liczbą w \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\), więc napis \(\displaystyle{ \langle x_i,\phi\rangle\to\langle x,\phi\rangle}\) oznacza zbieżność ciągu (uogólnionego) w ciele skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\).