Izotopia i indukowana przez nią rodzina pól wektorowych

[leg14]

Mamy gładką zwartą rozmaitość \(\displaystyle{ M}\) wraz z izotopią \(\displaystyle{ \Gamma_{t}, t \in [0,1]}\) .
I teraz cytuję:
Zdefiniujmy gładką rodzinę pól wektorowych przez równanie \(\displaystyle{ X_t \circ \Gamma_t = \dot{\Gamma_t}}\) , "gdzie kropka oznacza pochodną ze względu na \(\displaystyle{ t}\) (a więc \(\displaystyle{ \Gamma_t}\) jest flow'em \(\displaystyle{ X_t}\) )".

Mógłby mi ktoś powiedzieć, jak się definiuje tę pochodną i co oznacza, to że \(\displaystyle{ \Gamma_t}\) to flow \(\displaystyle{ X_t}\) .
Jedyna definicja "flow" (jak to się tłumaczy) jaką widziałem dotyczyła mapy \(\displaystyle{ \RR \times M \rightarrow M}\) , która "zbierała razem" krzywe „integralne” względem danego pola wektorowego.

[Wasilewski]

Tutaj chodzi o coś takiego: jak ustalimy \(\displaystyle{ x\in M}\) , to \(\displaystyle{ t\mapsto \Gamma_t(x)}\) jest krzywą na \(\displaystyle{ M}\) i różniczkowanie tego po prostu daje wektory styczne do tej krzywej. Jeśli chodzi o uwagę o potoku (czyli "flow"), to zwyczajowo potok pola wektorowego \(\displaystyle{ X}\) to jest rodzina odwzorowań \(\displaystyle{ \varphi_t: M \to M}\) takich, że \(\displaystyle{ \varphi_t(x) = x(t)}\) , gdzie \(\displaystyle{ x(t)}\) jest rozwiązaniem równania różniczkowego \(\displaystyle{ \dot{x}(t) = X(x(t))}\) oraz \(\displaystyle{ x(0)=x}\) . U nas mamy równość \(\displaystyle{ X_t(\Gamma_t(x)) = \dot{\Gamma_t}(\Gamma_t(x))}\) , więc wygląda to podobnie.

Ale jest to dość mylące, bo tradycyjnie potok to jest rodzina (lokalnych) dyfeomorfizmów generowana przez ustalone pole wektorowe, a nie rodzinę takich pól. Tutaj po prostu mamy do czynienia, o ile dobrze rozumiem, z równaniem, w którym współczynniki są zależne od czasu.

PS: Raczej mówi się "krzywe całkowe", a nie "krzywe integralne".

[leg14]

Dzięki.