Domkniętość zbioru

[Bartom]

Czy podany podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestrzeni \(\displaystyle{ l_{2}}\) jest zbiorem domkniętym?

a) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x_{1},x_{2},...) \in l_{2}:x_{1}=x_{2}\right\}}\)

b) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x_{1},x_{2},...) \in l_{2}: \sum_{n=0}^{ \infty }\left| X_{n}\right| \le 1 \right\}}\)

Nie bardzo wiem jak ugryźć to zadanko...

[Spektralny]

W przypadku a) rozważ funkcjonał \(\displaystyle{ f}\) dany wzorem \(\displaystyle{ f( (x_n)_{n=1}^\infty ) = x_1 - x_2}\). Jest to funkcjonał ograniczony (ciągły), a więc jego jądro jest domknięte. Zauważ jednak, że jądrem \(\displaystyle{ f}\) jest dokładnie zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Zadanie drugie można rozwiązać elementarnie, ale pokażę jak je rozwiązać szybko, odświeżając przy tym kilka faktów z analizy funkcjonalnej.

Rozważ odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ {\rm id}\colon \ell_1\to \ell_2}\). Twój zbiór to dokładnie obraz kuli jednostkowej \(\displaystyle{ B_{\ell_1}}\) w \(\displaystyle{ \ell_1}\) poprzez \(\displaystyle{ {\rm id}}\). Gdyby obraz \(\displaystyle{ {\rm id}[B_{\ell_1}]}\) był domknięty, to

• \(\displaystyle{ {\rm id}\colon \ell_1\to \overline{{\rm span}}\; {\rm id}[B_{\ell_1}]}\)

byłby różnowartościowym operatorem ograniczonym o domkniętym obrazie, tj. izomorfizmem. Jednak \(\displaystyle{ \overline{{\rm span}}\; {\rm id}[B_{\ell_1}]}\) jest przestrzenią Hilberta jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta; sprzeczność, bo \(\displaystyle{ \ell_1}\) nie jest izomorficzne z przestrzenią Hilberta.